El modelo SIR: Cómo las Ecuaciones Diferenciales predicen el destino de las Pandemias.

 

"La epidemiología es, en esencia, una disciplina matemática... debe ser tratada matemáticamente si se quiere que sea una ciencia exacta". Sir Ronald Ross (Reino Unido 1857 – 1932)

La idea de aplicar matemáticas a la salud pública o problemas relacionados tiene raíces que se adentran en los inicios del Cálculo Diferencial e Integral. El primer gran avance lo protagonizó Daniel Bernoulli (Suiza 1700 – 1782) en 1760, utilizando ecuaciones para defender el “variolización” (una forma primitiva de vacunación) contra la viruela. Bernoulli demostró que, aunque la técnica tenía riesgos, aumentaba la esperanza de vida de la población en tres años.

En 1854, John Snow (Reino Unido 1813 – 1858) durante el brote de cólera en Londres, utilizó estadística espacial para identificar la fuente del contagio. Aunque no utilizó directamente ecuaciones, sentó las bases de la transmisión por contacto, un concepto clave para la variable $\beta$ del modelo SIR que veremos más adelante.

Fue Ronald Ross en 1911, el primero en proponer que la propagación de una enfermedad depende de la densidad de población y que la prevención no requiere matar a todos los vectores o agentes de transmisión, sino mantenerlos por debajo de un "umbral crítico". Sus "ecuaciones de a priori" son el antepasado directo del SIR.

Aquí un breve paréntesis histórico:

Ronald Ross (Reino Unido 1857 – 1932) fue un médico militar británico que recibió el Premio Nobel de Fisiología (Medicina) por descubrir que los mosquitos transmiten la malaria. Trabajando en la India en 1897, logró documentar paso a paso el ciclo de vida del parásito Plasmodium dentro del mosquito Anopheles.

Por otro lado, Carlos J. Finlay (Cuba 1833 – 1915) había presentado una hipótesis similar bastante antes, en 1881 en La Habana. Finlay había identificado correctamente al mosquito Aedes aegypti como el vector de la fiebre amarilla. Sin embargo, sus experimentos iniciales no fueron considerados concluyentes por la comunidad científica internacional.

Ross era un oficial del Servicio Médico de la India británica. Tenía el respaldo de la Royal Society y de Sir Patrick Manson (el "padre" de la medicina tropical), lo que le daba una plataforma de difusión masiva en Europa. Finlay un médico cubano trabajando en una isla bajo una enorme inestabilidad política.

Carlos J. Finlay fue nominado al Premio Nobel de Fisiología o Medicina en siete ocasiones diferentes, pero nunca lo ganó. Muchos historiadores coinciden en que hubo una injusticia histórica basada en la falta de reconocimiento a los científicos del "mundo periférico".

Hoy en día, la comunidad científica reconoce a Carlos J. Finlay como el verdadero pionero de la teoría de los vectores. El 3 de diciembre, su fecha de nacimiento, se celebra el Día de la Medicina Latinoamericana en su honor.

Pero regresemos a lo que nos ocupa en este post: el modelo SIR (Susceptibles – Infectados – Recuperados).

El modelo formal que conocemos hoy nació de la colaboración entre un bioquímico y un oficial médico militar británicos: William Ogilvy Kermack (Reino Unido 1898 – 1970) y Anderson Gray McKendrick (Reino Unido 1876 – 1943)

McKendrick había trabajado en la India y estaba obsesionado con los datos de las epidemias de peste bubónica. Notó que las epidemias no terminaban porque se "acabaran las víctimas", como se creía antes, sino que se detenían incluso cuando aún había mucha gente sana.

En 1927, ellos publican "A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics". En este artículo científico, introdujeron la gran innovación: un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Acopladas. Su gran aporte fue el “Teorema del Umbral”. Demostraron matemáticamente que para que una epidemia se inicie, la densidad de población susceptible debe superar un valor crítico. Si no se alcanza ese umbral, la enfermedad se extingue por sí sola. Esto cambió para siempre la inmunología y las políticas de salud pública.

El modelo “SIR” es, posiblemente, la aplicación más famosa y vital de las ecuaciones diferenciales en la biología moderna. No es solo un ejercicio académico; es la herramienta que permite a los gobiernos decidir cuándo implementar una cuarentena o cómo distribuir vacunas durante una pandemia.

El modelo divide a una población fija de $N$ individuos en tres compartimentos o "estados" biológicos que evolucionan con el tiempo $t$:

• S (Susceptibles): Personas sanas que pueden contraer la enfermedad.
• I (Infectados): Personas que tienen la enfermedad y pueden transmitirla.
• R (Recuperados/Removidos): Personas que han superado la enfermedad (adquiriendo inmunidad) o que han fallecido.

El flujo de la población entre estos grupos se visualiza como una cadena: $S \to I \to R$.

Para entender cómo se propaga la enfermedad, utilizamos un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) acopladas. Estas no miden "cuánta gente hay", sino "a qué velocidad cambia" cada grupo:

1. El Descenso de los Susceptibles:
$$\frac{dS}{dt} = -\frac{\beta S I}{N}$$
Aquí, $\beta$ representa la tasa de transmisión (la probabilidad de contagio por contacto). El signo negativo indica que el grupo de susceptibles solo puede disminuir a medida que la gente se enferma.

2. El Auge y Caída de los Infectados:
$$\frac{dI}{dt} = \frac{\beta S I}{N} - \gamma I$$
Esta es la ecuación más crítica. El primer término ($\frac{\beta SI}{N}$) es la gente que entra al grupo (nuevos enfermos), y el segundo término ($\gamma I$) es la gente que sale porque se cura o muere. $\gamma$ es la tasa de recuperación.

3. El Aumento de los Recuperados:
$$\frac{dR}{dt} = \gamma I$$
Este grupo solo crece, acumulando a todos los que ya no pueden contagiar ni ser contagiados.

Aunque de las ecuaciones anteriores no podemos despejar $S(t)$ fácilmente, sí podemos ver cómo cambia $S$ respecto a $R$. Si dividimos la primera ecuación entre la tercera:

$$\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI / N}{\gamma I} = -\frac{\beta S}{\gamma N}$$

Al integrar esta ecuación simple, obtenemos una solución explícita que relaciona ambos grupos:

$$S(t) = S(0) e^{-\frac{\beta}{\gamma N} (R(t) - R(0))}$$

Esta fórmula es poderosa: nos dice que el número de susceptibles decae exponencialmente a medida que aumenta el número de recuperados.

Si dividimos la segunda ecuación entre la primera, podemos eliminar el tiempo ($t$) para entender la relación directa entre enfermos y sanos:

$$\frac{dI}{dS} = \frac{\frac{\beta SI}{N} - \gamma I}{-\frac{\beta SI}{N}} = -1 + \frac{\gamma N}{\beta S}$$

Integrando respecto a $S$, obtenemos la ecuación de la trayectoria:

$$I(S) = I(0) + S(0) - S + \frac{\gamma N}{\beta} \ln\left(\frac{S}{S(0)}\right)$$

Esta es la "huella digital" de la epidemia. Nos permite calcular, por ejemplo, el pico máximo de infectados simplemente buscando el punto donde la derivada es cero ($S = \frac{\gamma N}{\beta}$).

A partir de estas ecuaciones, los biólogos definen el concepto más importante de la epidemiología: el Número Básico de Reproducción ($R_0$).

$R_0 = \frac{\beta}{\gamma}$

• Si $R_0 > 1$: La enfermedad se propagará y causará una epidemia.
• Si $R_0 < 1$: La enfermedad desaparecerá gradualmente.

Este número nos dice a cuántas personas infectará, en promedio, un solo individuo enfermo en una población totalmente susceptible. Por ejemplo, si el $R_0$ del sarampión es 15: una sola persona puede contagiar a otras 15.

Cuando resolvemos estas ecuaciones, obtenemos:

• La curva de Infectados (I) suele tener forma de campana. Sube rápidamente mientras hay muchos susceptibles, alcanza un pico (el "pico de la pandemia") y luego baja cuando ya no quedan suficientes personas sanas a quienes contagiar.
• La curva de Susceptibles (S) cae de forma monótona.
• La curva de Recuperados (R) sube en forma de "S" (sigmoide).

A lo largo de este análisis, hemos visto cómo tres simples letras —S, I y R— encapsulan la complejidad de la vida y el riesgo. Aunque la realidad biológica siempre será más rica y caótica que cualquier sistema de ecuaciones, el valor del modelo no reside en su perfección, sino en su capacidad de guía. Como se suele afirmar en la salud pública moderna:
"En epidemiología, las matemáticas no son una opción, son una brújula en medio de la tormenta".
Al final del día, las ecuaciones diferenciales no son solo números en una pizarra; son herramientas que permiten a la ciencia anticiparse al miedo, a los gobiernos actuar con evidencia y a la sociedad entender que, en la lucha contra lo invisible, la razón matemática es nuestra mejor aliada. El modelo SIR nos recuerda que, aunque no podamos predecir el futuro con total exactitud, sí podemos modelar nuestra esperanza y nuestra supervivencia.