Del Voto a la Aritmética: Las Matemáticas Ocultas de los Sistemas Electorales

 

"La democracia es el proceso que garantiza que no seamos gobernados mejor de lo que nos merecemos " George Bernard Shaw (Irlanda 1856 - 1950)

En general, las elecciones son un ejercicio estrictamente político. Sin embargo, para los matemáticos, estadísticos y politólogos, son un problema de optimización, asignación y teoría de la proporcionalidad.

Estamos acostumbrados a resolver ecuaciones donde el resultado es único y exacto. Pero, ¿qué ocurre cuando el "resultado" debe repartir una cantidad indivisible de escaños entre fuerzas que obtienen porcentajes continuos de votos? Surgen así las reglas de promedio mayor y los cocientes electorales. En este post, nos adentraremos en el origen histórico de estos métodos, las herramientas estadísticas que los sustentan y su funcionamiento interno.

Para entender por qué existen estas herramientas, debemos viajar al siglo XIX. Con la llegada de la Revolución Industrial y las revoluciones liberales, las sociedades europeas pasaron del sufragio censitario (donde solo votaba la élite terrateniente) al sufragio universal o progresivamente ampliado.

De repente, los parlamentos dejaron de ser clubes exclusivos de notables para convertirse en cámaras fragmentadas donde conviven conservadores, liberales, socialistas y representantes regionales. El viejo sistema del escrutinio mayoritario uninominal, el clásico "el ganador se lo lleva todo" de estilo británico o estadounidense, empezó a hacer aguas. En una circunscripción plural, si un partido obtenía el 45% de los votos y otro el 40%, el primero se llevaba el 100% del poder, dejando a casi la mitad de la población sin voz.

Es en este contexto de búsqueda de justicia matemática cuando, en 1878, el jurista, matemático y profesor de la Universidad de Gante, Victor D'Hondt (Bélgica 1841 - 1901), ideó un procedimiento algebraico elegante para solucionar este dilema. Su objetivo no era buscar un ganador absoluto, sino garantizar que la proporción de escaños reflejara con la mayor fidelidad posible la proporción de votos, evitando las paradojas de los sistemas de restos. Bélgica lo adoptó por primera vez en 1899, y desde entonces se expandió por el mundo occidental.

¿Qué es una "Regla de Promedio Mayor"?

Desde el punto de vista matemático, el problema electoral se define así:

• Sea $V_i$ el número de votos obtenidos por el partido $i$-ésimo.
• Sea $V_{total}$ la suma de todos los votos válidos.
• Sea $S$ el número total de escaños a repartir en esa circunscripción.

Queremos encontrar un conjunto de escaños enteros $s_i$ para cada partido de modo que se maximice la proporcionalidad. Las familias de métodos de promedio mayor (highest averages) resuelven esto simulando escenarios de competitividad mediante una secuencia estrictamente creciente de divisores algebraicos ($d_1, d_2, d_3, \dots$).

A. La Ley D'Hondt y su progresión aritmética

La regla diseñada por Victor D'Hondt utiliza la secuencia de números enteros consecutivos:

$$d = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$$

Para cada partido, se calculan los cocientes sucesivos dividiendo sus votos totales entre cada elemento del divisor:

$$\text{Cociente}_{i,k} = \frac{V_i}{k} \quad \text{para } k = 1, 2, 3, \dots, S$$

Estadísticamente, lo que hace D'Hondt es calcular el coste marginal por escaño. A medida que un partido acumula más escaños, el "coste" en votos necesarios para justificar un escaño adicional aumenta linealmente porque el divisor crece ($1, 2, 3...$). Este sesgo matemático favorece sutilmente a las candidaturas con mayores bloques de votos, ya que sus cocientes iniciales resisten mejor frente a partidos más fragmentados.

B. La alternativa de Sainte-Laguë: Los números impares

Si modificamos la secuencia de divisores y en lugar de usar todos los números enteros empleamos exclusivamente los números impares:

$$d = \{1, 3, 5, 7, 9, \dots\}$$

Entramos en el terreno del Método Sainte-Laguë, ideado por el físico francés André Sainte-Laguë (Francia 1882 - 1950) en 1910. Al saltar directamente del divisor $1$ al $3$, el castigo por obtener el segundo escaño es mucho más severo. Esto nivela el terreno de juego, reduciendo el sesgo hacia los grandes partidos y favoreciendo una proporcionalidad pura, ideal para evitar mayorías artificiales.

A diferencia de las reglas anteriores, también se aplican otros métodos conocidos como Métodos de Cuota y Resto Mayor, quizás el más conocido es el método concebido por Thomas Hare (Reino Unido 1806–1891) un importante jurista, politólogo y reformador político británico.

Thomas Hare introdujo formalmente la Cuota Hare y su propuesta de Voto Único Transferible (STV) en 1857, a través de su folleto The Machinery of Representation, idea que posteriormente amplió en su libro de 1859 A Treatise on the Election of Representatives. (Como dato histórico adicional, la fórmula matemática de la cuota $q = \frac{\text{Votos}}{\text{Escaños}}$ ya había sido sugerida de forma independiente en EE. UU. por Alexander Hamilton en 1792 para el reparto de escaños congresionales, por lo que a este método de cuota con restos mayores también se le conoce como método Hamilton).

En este caso no se divide sucesivamente, sino que consta de dos fases bien diferenciadas:

Fase 1: Cálculo de la Cuota ($q$)

Se establece el precio en votos que cuesta conseguir un escaño directo dividiendo la cantidad total de votos entre los escaños disponibles:

$$q = \frac{V_{\text{total}}}{S}$$

Fase 2: Asignación Directa y Restos

Escaños automáticos: Se calcula cuántas veces "cabe" la cuota en los votos de cada partido mediante la parte entera de la división:

1. $$s_i^{\text{directos}} = \left\lfloor \frac{V_i}{q} \right\rfloor$$

Cálculo del resto algebraico: Los votos sobrantes no utilizados para completar una cuota entera se almacenan como resto:

0. $$R_i = V_i - (s_i^{\text{directos}} \cdot q)$$

Reparto de sobrantes: Si tras el reparto directo quedan escaños vacíos, se otorgan uno a uno a las candidaturas que posean los restos mayores ($R_i$).

Ejemplo Práctico: La Ley D'Hondt en España (Caso Particular)

Para ver estas matemáticas en acción, observemos una circunscripción electoral a la que le corresponden 8 escaños (un tamaño propio de provincias intermedias como Zaragoza, Murcia o Pontevedra).

Supongamos que participan cuatro partidos que superan la barrera electoral (en el caso particular de España el 3%) y suman 100.000 votos válidos repartidos así:

• Partido A: 44.000 votos (44,0%)
• Partido B: 28.000 votos (28,0%)
• Partido C: 17.000 votos (17,0%)
• Partido D: 11.000 votos (11,0%)

Construcción de la matriz de cocientes

Dividimos los votos de cada partido desde el divisor 1 hasta el 8 (el total de escaños en juego):

Divisor	Partido A (44.000)	Partido B (28.000)	Partido C (17.000)	Partido D (11.000)
÷ 1	44.000 (1º)	28.000 (2º)	17.000 (4º)	11.000 (7º)
÷ 2	22.000 (3º)	14.000 (5º)	8.500	5.500
÷ 3	14.666 (6º)	9.333 (8º)	5.666	3.666
÷ 4	11.000	7.000	4.250	2.750
÷ 5	8.800	5.600	3.400	2.200
÷ 6	7.333	4.666	2.833	1.833
÷ 7	6.285	4.000	2.428	1.571
÷ 8	5.500	3.500	2.125	1.375

Si ordenamos estrictamente las 8 cifras más altas marcadas en la tabla de mayor a menor, obtenemos:

1. 44.000 $\rightarrow$ Partido A (1er escaño)
2. 28.000 $\rightarrow$ Partido B (2º escaño)
3. 22.000 $\rightarrow$ Partido A (3er escaño)
4. 17.000 $\rightarrow$ Partido C (4º escaño)
5. 14.000 $\rightarrow$ Partido B (5º escaño)
6. 14.666 $\rightarrow$ Partido A (6º escaño)
7. 11.000 $\rightarrow$ Partido D (7º escaño)
8. 9.333 $\rightarrow$ Partido B (8º escaño) (Gracias al divisor 3, el Partido B arrebata el último escaño)

Resultado final con D'Hondt:

1. Partido A: 3 escaños
2. Partido B: 3 escaños
3. Partido C: 1 escaño
4. Partido D: 1 escaño

Curiosamente, aunque el Partido A sacó un 16% más de votos que el B, la discretización de los escaños en una circunscripción pequeña genera un empate técnico en representación, ilustrando cómo la geometría del espacio electoral condiciona la estadística.

Si repartimos los 8 escaños aplicando los tres métodos descritos antes nos quedaría:

Método / Regla	Partido A(44%)	Partido B(28%)	Partido C(17%)	Partido D(11%)
Cuota Ideal Teórica	3,52 escaños	2,24 escaños	1,36 escaños	0,88 escaños
Ley D'Hondt	3 escaños (37,5%)	3 escaños (37,5%)	1 escaño (12,5%)	1 escaño (12,5%)
Método Sainte-Laguë	3 escaños (37,5%)	2 escaños (25,0%)	2 escaños (25,0%)	1 escaño (12,5%)
Cuota Hare	3 escaños (37,5%)	2 escaños (25,0%)	2 escaños (25,0%)	1 escaño (12,5%)

Al corregir el conteo, el comportamiento de los tres métodos se aprecia de forma aún más reveladora:

El sesgo conservador de D'Hondt: Es el único de los tres métodos que inclina la balanza a favor del segundo partido grande (Partido B), otorgándole 3 escaños (empatándolo con A) y dejando al Partido C con solo 1.

La coincidencia de Sainte-Laguë y Cuota Hare: En este escenario de 8 escaños, tanto Sainte-Laguë como Hare logran el reparto matemáticamente más proporcional y cercano a los decimales teóricos ($3,52 \rightarrow 3$; $2,24 \rightarrow 2$; $1,36 \rightarrow 2$; $0,88 \rightarrow 1$), dando 2 escaños al Partido C y 2 al Partido B.

Análisis comparativo general:

Criterio	Ley D'Hondt	Método Sainte-Laguë	Cuota Hare
Mecanismo algebraico	Promedio mayor ($1, 2, 3...$)	Promedio mayor ($1, 3, 5...$)	Precio fijo ($q$) + Mayor resto
Trato a grandes partidos	Ventajoso (premia concentraciones)	Neutro / Equitativo	Neutro
Trato a pequeños partidos	Excluyente en circunscripciones pequeñas	Accesible	Muy favorable
Comportamiento en la práctica	Prima la gobernabilidad y estabilidad	Busca la representación proporcional	Busca la máxima equidad teórica

Lo que comenzó como un debate intelectual en el siglo XIX constituye hoy la infraestructura matemática de las democracias globales:

• Ley D'Hondt: Es la fórmula reina en España (usada para el Congreso de los Diputados, parlamentos autonómicos y elecciones municipales). Se aplica también en países como Portugal, Bélgica, Austria, Finlandia, Argentina, Chile y Colombia.
• Método Sainte-Laguë: Es empleado en naciones que buscan parlamentos altamente proporcionales, tales como Alemania, Suecia, Noruega, Nueva Zelanda y Letonia.
• Cuota Hare: Se utiliza como estándar en sistemas de Voto Único Transferible o listas proporcionales en países como Irlanda, Malta, Taiwán o Lituania, así como en las elecciones legislativas de Hong Kong.

Las matemáticas electorales nos demuestran que no existe un algoritmo perfecto. Toda conversión de datos continuos (votos) a datos discretos (escaños) introduce una distorsión o redondeo inevitable. Conocer las fórmulas detrás de reglas como D'Hondt, Sainte-Laguë o Hare nos permite mirar más allá de los titulares políticos y comprender la arquitectura lógica que sostiene nuestras decisiones colectivas. ¡La próxima vez que veas unas elecciones, recuerda que detrás de cada escaño hay una matriz o una cuota esperando su resolución!