La Guerra de las Proyecciones: Cómo las Matemáticas Corrigieron Nuestra Visión del Mundo

 

“Cada mapa responde a la pregunta de su época. Mercator respondió a las necesidades de la navegación a vela; hoy necesitamos mapas que respondan a la justicia espacial y a la ciencia global”. John P. Snyder (EE.UU 1926 – 1997).

A lo largo de la historia, uno de los desafíos intelectuales más fascinantes de las matemáticas aplicadas ha sido cómo dibujar la Tierra sobre un lienzo plano. El problema básico se comprende con una analogía cotidiana: intente pelar una naranja e instalar su piel sobre una mesa de manera completamente llana, sin arrugarla, estirarla ni rasgarla. Descubrirá de inmediato que es imposible.

Desde una perspectiva formal, este reto pertenece a la geometría diferencial, la rama de las matemáticas que estudia las superficies curvas mediante el cálculo diferencial e integral. En la década de 1820, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss (Alemania 1777 – 1855) formuló su célebre Theorema Egregium («Teorema Excelente»), ver https://gilbeworld.blogspot.com/2026/05/el-puente-entre-la-forma-y-la.html. Gauss demostró formalmente que la curvatura gaussiana de una superficie es una propiedad intrínseca que no cambia si la superficie se dobla sin estirarla. Dado que una esfera tiene una curvatura gaussiana constante y positiva ($K = 1/R^2$, donde $R$ es el radio) y un plano tiene una curvatura intrínseca igual a cero ($K = 0$), no existe ninguna función continua y biyectiva que pueda proyectar una esfera sobre un plano conservando todas las distancias, ángulos y áreas simultáneamente.

Debido al teorema de Gauss, todo cartógrafo debe elegir qué propiedad geométrica desea conservar a costa de distorsionar las demás:

• Conformidad (Mapa de Mercator): Conserva los ángulos locales y las formas puntuales (las direcciones en la brújula son precisas), pero distorsiona enormemente las áreas.
• Equivalencia (Equal-Area): Conserva las proporciones reales de las áreas de la superficie (si un continente es el doble de grande que otro, en el mapa ocupará exactamente el doble de espacio), a costa de deformar las formas o los ángulos locales.
• Equidistancia: Conserva las distancias a lo largo de ciertos meridianos o líneas específicas.
• Compromiso: No conserva perfectamente ninguna propiedad matemática, pero busca un balance estético aceptable para la vista humana.

Para comprender cómo las matemáticas terminaron corrigiendo nuestra imagen del planeta, es necesario remontarse a la génesis del diseño cartográfico y a los primeros intentos de mapear el globo.

Desde la antigüedad clásica, astrónomos y geómetras intentaron formalizar la proyección espacial. Claudio Ptolomeo (siglo II d. C.) introdujo las proyecciones cónicas para sus mapas del mundo conocido (Ecumene), estableciendo el uso formal de meridianos y paralelos mediante coordenadas angulares (latitud $\phi$ y longitud $\lambda$).

Durante el Renacimiento, las travesías transoceánicas exigían mapas útiles para la navegación. En 1569, el cartógrafo flamenco Gerardus Mercator (Flandes 1512 – 1594) concibió una proyección cilíndrica conforme (es decir, se conservan las formas pero se distorsiona el área). Su gran hallazgo fue trazar las líneas de rumbo constante (loxodromias) como líneas rectas sobre el mapa, facilitando la navegación con brújula.

Sin embargo, el costo matemático de conservar los ángulos en la proyección de Mercator radica en que la escala vertical aumenta drásticamente hacia los polos proporcionalmente a la secante de la latitud ($\sec \phi$). Como consecuencia, la representación del área se expande por un factor de $\sec^2 \phi$. A latitud 60° (donde se encuentran el norte de Europa y Canadá), las áreas se ven amplificadas al cuádruple de su tamaño real; cerca de los 80°, la amplificación supera las 33 veces. Esto genera la ilusión óptica de que Groenlandia posee un tamaño semejante al del continente africano, cuando en realidad África es casi 14 veces más grande.

En la proyección de Mercator, la distorsión geométrica es perfectamente simétrica respecto al ecuador. Es decir, la distorsión escala hacia los polos de forma idéntica tanto hacia el norte ($+90^\circ$) como hacia el sur ($-90^\circ$). Si el sur «parece» más pequeño en los mapas tradicionales de Mercator que vemos habitualmente, no se debe a la matemática de la proyección en sí, sino a tres razones de geografía, convención y recortes de edición.

La razón principal es puramente geográfica. La mayor parte de la masa de tierra firme del planeta se encuentra en el hemisferio norte. El Hemisferio Norte alberga aproximadamente el 68% de las tierras emergidas de la Tierra (Eurasia, América del Norte, África del Norte), el Hemisferio Sur solo contiene cerca del 32% de la tierra firme, dominado en su mayoría por enormes océanos. Como las grandes masas continentales del sur (Sudamérica, África subsahariana, Australia) están más cerca del ecuador que las del norte (Canadá, Groenlandia, Escandinavia, Rusia), sufren un nivel de distorsión mucho menor. La Antártida es el único continente del extremo sur, y de hecho, en un mapa de Mercator completo, la Antártida se distorsiona hasta parecer infinitamente gigantesca.

Matemáticamente, la proyección de Mercator no puede representar los polos ($90^\circ$ N y $90^\circ$ S) porque la fórmula requiere calcular la secante de la latitud ($\sec \phi$), y a $90^\circ$ esto equivale a dividir entre cero ($\sec 90^\circ = \infty$). El mapa tendría una altura infinita. Para resolver esto, los diseñadores de mapas siempre recortan el mapa a cierta latitud (generalmente alrededor de los $80^\circ$ o $85^\circ$).

Como la Antártida rodea todo el polo sur, si se dibujara completa en Mercator ocuparía una franja blanca descomunal en la base del mapa que duplicaría el tamaño del resto del mundo. Por eso, en la inmensa mayoría de los mapas escolares y de pared, los editores cortan el mapa mucho antes en el sur que en el norte, eliminando gran parte de la Antártida. Al quitar esa enorme masa blanca del sur, el hemisferio sur pierde presencia visual.

Debido al recorte asimétrico mencionado arriba (se deja más espacio al norte para mostrar completo el norte de Canadá, Groenlandia y Rusia, y se recorta la Antártida en el sur), la línea del Ecuador suele colocarse más abajo del centro físico del papel o la pantalla. Al desplazar el ecuador hacia el tercio inferior del mapa, el hemisferio norte ocupa visualmente más del 60% de la superficie del póster, reforzando la sensación visual de que "el norte es más grande que el sur".

En la década de 1970, el historiador Arno Peters revivió una proyección equivalente (conserva las áreas) creada en el siglo XIX por James Gall. La proyección de Gall-Peters corregía las proporciones territoriales para otorgar mayor justicia visual a los países del hemisferio sur y de la franja ecuatorial. No obstante, desde la perspectiva de la geometría y la estética cartográfica, Gall-Peters resultó deficiente: al ser una proyección cilíndrica pura equivalente, estiraba en exceso los continentes en la zona ecuatorial y los aplastaba de forma grotesca en las latitudes altas, distorsionando severamente sus contornos.

Frente a la encrucijada entre el mapa distorsionado en áreas de Mercator y el mapa deformado en formas de Gall-Peters, en 2018 los cartógrafos e investigadores Bojan Šavrič, Tom Patterson y Bernhard Jenny crearon la proyección Equal Earth.

La génesis de esta proyección ocurrió tras el anuncio en 2017 de que las escuelas públicas de Boston adoptarían el mapa de Gall-Peters para sus aulas. Los autores se propusieron desarrollar una alternativa visualmente atractiva, pero agregando el rigor matemático de ser estrictamente equivalente (conservadora de áreas).

Para comprender el funcionamiento interno de Equal Earth, basta repasar conceptos elementales de funciones, trigonometría y cálculo diferencial, Equal Earth es una proyección seudocilíndrica. Esto significa que:

• Los paralelos de latitud son líneas rectas horizontales paralelas entre sí.
• El meridiano central es una línea recta vertical perpendicular a los paralelos.
• Los demás meridianos son curvas suaves simétricas simétricamente espaciadas a lo largo de cada paralelo.

Sean $\phi$ la latitud (de $-\pi/2$ a $\pi/2$ radianes) y $\lambda$ la longitud relativa al meridiano central (de $-\pi$ a $\pi$ radianes).

Primero, se define un ángulo auxiliar $\theta$ (conocido como latitud autálica o paramétrica), cuya relación trigonométrica fundamental es:

$$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \phi$$

Esta transformación ajusta la escala inicial de las áreas sobre el esferoide.

En lugar de utilizar funciones trigonométricas complejas para la altura vertical ($y$), los autores modelaron la distribución vertical de las latitudes mediante un polinomio en potencias impares de $\theta$:

$$y = \theta \cdot \left( A_0 + A_1 \theta^2 + A_2 \theta^4 + A_3 \theta^6 \right)$$

Los coeficientes $A_0, A_1, A_2, A_3$ se determinaron ajustando la curva mediante el método de mínimos cuadrados. Sus valores numéricos constantes son aproximados a:

• $A_0 = 1.340264$
• $A_1 = -0.081106$
• $A_2 = 0.000893$
• $A_3 = 0.003796$

Para que una proyección seudocilíndrica mantenga el área exactamente proporcional en cualquier punto, el producto de las derivadas parciales de las coordenadas $x$ e $y$ debe satisfacer el diferencial de área esférico $dA = R^2 \cos \phi \, d\phi \, d\lambda$.

Esto impone que la coordenada horizontal $x$ dependa directamente de la longitud $\lambda$ y de la derivada de $y$ respecto a $\theta$, formulándose como:

$$x = \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \lambda \cdot \cos \phi}{3 \cdot \left( A_0 + 3 A_1 \theta^2 + 5 A_2 \theta^4 + 7 A_3 \theta^6 \right)}$$

Observe que el denominador de $x$ es precisamente la derivada polinómica $dy/d\theta$. Esta relación inversa entre la escala horizontal y la vertical es la clave geométrica: si el mapa se estira en la dirección vertical en una latitud dada, se contrae exactamente en la misma proporción en la dirección horizontal, garantizando que el área de cualquier elemento infinitesimal se mantenga constante.

Gracias a que sus ecuaciones directas e inversas son polinómicas, la proyección es extremadamente rápida de computar en términos analíticos. Software de Sistemas de Información Geográfica (GIS) como ArcGIS, QGIS y la biblioteca gráfica D3.js incorporaron nativamente Equal Earth, convirtiéndola en un estándar accesible para cualquier profesional.

La razón fundamental por la que la comunidad científica, educativa y cartográfica actual prioriza la proyección Equal Earth sobre Mercator (a pesar de la leve distorsión en los ángulos) se resume en tres pilares:

1. Mercator fue diseñado en 1569 con un propósito técnico claro: guiar barcos con brújula en línea recta. En el siglo XXI, el transporte aéreo, marítimo y terrestre utiliza radares y geolocalización satelital (GPS), los cuales calculan rutas ortodrómicas (geodésicas) mediante computadoras. Mantener una distorsión de área masiva en mapas educativos o de uso general por una necesidad náutica del siglo XVI carece de sentido práctico en la actualidad.
2. Científicamente, el área es la variable crítica para los datos globales. En la era del análisis de datos y el cambio climático, la mayoría de los mapas del mundo que consumimos son mapas temáticos:
• Anomalías de temperatura y calentamiento global.
• Emisiones de dióxido de carbono por kilómetro cuadrado.
• Cobertura vegetal, deforestación y desertificación.
• Densidad de población mundial.
3. Si se utiliza un mapa conforme como Mercator para mostrar estas variables, los datos del norte del planeta ocuparán visualmente mucho más espacio en la pantalla o papel del que les corresponde físicamente, alterando la percepción visual de la escala del problema climático o ecológico.

Los mapas influyen directamente en la forma en que las personas conceptualizan el planeta. Cuando en las escuelas se muestra un mapa de Mercator donde Groenlandia parece del tamaño de África (siendo África 14 veces mayor), se distorsiona la escala del mundo real en la mente de los estudiantes.

La ligera deformación de las formas en Equal Earth es un precio insignificante comparado con el beneficio de ofrecer una visión geográficamente justa, donde cada continente ocupa el lugar y la proporción espacial que realmente le pertenece.

Ningún mapa plano es perfecto, pues romper las leyes de la geometría diferencial es imposible; pero la forma en que elegimos distorsionar el planeta refleja nuestras prioridades. Al dejar atrás la necesidad técnica de la navegación con brújula que inmortalizó a Mercator, la proyección Equal Earth se erige como el estándar del siglo XXI: una herramienta que utiliza el rigor analítico para devolverle a cada región su escala justa, demostrando que la matemática no solo sirve para calcular, sino también para comprender nuestro lugar en el mundo con mayor fidelidad.

La proyección Equal Earth demuestra cómo una disciplina analítica como la geometría no es un cuerpo estático de reglas abstractas, sino una herramienta viva en constante desarrollo. Mediante la aplicación práctica de polinomios, cálculo vectorial y transformaciones trigonométricas, la cartografía contemporánea logró resolver un dilema estético y geométrico de siglos de antigüedad.

El resultado es un mapa que respeta la rigurosa escala territorial de la Tierra sin sacrificar la armonía visual de sus formas, recordándonos que las matemáticas siguen siendo nuestro mejor lenguaje para interpretar el espacio donde vivimos.