¿Álgebra Geométrica o Geometría Algebraica?

“La geometría es la forma en que Dios ha organizado el universo” Alexander Grothendieck (Alemania n. 28-03-1928 m. 13-11-2014)

A lo largo de su historia las matemáticas no solo se han relacionado con otras ciencias y áreas del conocimiento, siendo en muchos casos fundamentales para explicar fenómenos físicos y de las ciencias naturales o sociales. También diferentes “ramas” o disciplinas matemáticas, aparentemente distintas por sus objetos particulares de estudios, han “intercambiado” métodos y herramientas contribuyendo al desarrollo de cada disciplina con la aplicación de los resultados y conocimientos de otras ramas matemáticas.

Aunque pudiera pensarse que son equivalentes o similares, el Álgebra Geométrica se diferencia de la Geometría Algebraica fundamentalmente en sus objetos de estudios. En tanto el álgebra geométrica es un lenguaje algebraico diseñado para describir y manipular la geometría espacial de manera eficiente, la geometría algebraica es una rama de la matemática pura que combina el álgebra abstracta (especialmente el álgebra conmutativa) con la geometría, su objetivo principal es estudiar las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas, las que forman figuras geométricas llamadas "variedades algebraicas" (curvas, superficies, etc.), en general es una rama de las matemáticas muy abstracta y teórica.

Estas diciplinas matemáticas también se diferencian en los métodos que emplean y en la aplicación de los resultados. Las aplicaciones principales de la geometría algebraica se concentran en criptografía, teoría de números y física teórica. Por su parte las aplicaciones fundamentales del álgebra geométrica se desarrollan con un enfoque más práctico y computacional, sobre todo en la computación gráfica, robótica, electromagnetismo, mecánica clásica y otros.

Los orígenes del álgebra geométrica se encuentran a mediados del siglo XIX cuando varios matemáticos buscaban la manera de representar figuras espaciales sin tener que depender de coordenadas. Los primeros desarrollos se encuentran en los trabajos de Hermann Grassmann (Alemania n.15-04-1809 m.26-09-1877) y William Rowan Hamilton (Irlanda n.04-08-1805 m.02-09-1865) con la introducción del producto exterior y los cuaterniones. No obstante, se considera a William Kingdon Clifford (Reino Unido n.04-05-1845 m.03-03-1879) como el padre del álgebra geométrica. Clifford unificó las teorías de Hamilton y Grassmann introduciendo lo que se conoce como Álgebra de Clifford. Durante el siglo XX sus resultados se fueron enriqueciendo con los trabajos de varios matemáticos, hoy día el álgebra geométrica se sigue desarrollando en áreas avanzadas y es muy utilizada en robótica y visión por computadora, donde permite manejar rotaciones y traslaciones de forma mucho más eficiente que las matrices tradicionales.

Por su parte, los orígenes de la geometría algebraica hay que buscarlos varios siglos antes, desde la Grecia Antigua y los trabajos de Apolonio sobre las secciones cónicas. Su historia es una de las más largas y ricas de las matemáticas, evolucionando desde el dibujo de figuras hasta la abstracción pura. El gran salto se produce con la invención por parte de René Descartes (Francia n.31-03-1596 m.11-02-1650) y Pierre de Fermat (Francia n.17-08-1601 m.12-01-1665) de la Geometría Analítica. A finales del siglo XIX y principios del XX David Hilbert y Emmy Noether demostraron que para entender la geometría primero había que entender las estructuras algebraicas, dando fundamento teórico a las ideas intuitivas que se habían desarrollado hasta ese momento, en particular demostraron que estudiar los puntos de una curva es equivalente a estudiar las propiedades algebraicas de los polinomios que la definen.

La geometría algebraica cambió radicalmente en los años 60 del siglo XX con los trabajos del matemático alemán Alexander Grothendieck, este llevó la geometría a un nivel de abstracción tan alto que permitía aplicar conceptos geométricos incluso a la teoría de números. Aplicando estas herramientas y enfoque abstracto, el matemático británico Andrew Wiles pudo demostrar siglos después, específicamente en 1995, el Último Teorema de Fermat.

Sobre estas técnicas e ideas para demostrar el teorema de Fermat tuve la oportunidad y el privilegio de asistir en 1985 a una presentación del Dr.C. Héctor Pla, especialista en álgebra del ICIMAF, en la escuela de matemáticas de la Universidad de La Habana donde, usando precisamente herramientas de geometría algebraica, consideraba que había demostrado el teorema de Fermat. La demostración de Pla se comprobó más tarde que tenía un error, pero en su momento fue un hito en el devenir de la matemática en Cuba y sus descubrimientos y aportes sirvieron de base para los trabajos posteriores en esta disciplina de las matemáticas.