La Conjetura ABC o el Santo Grial de la Aritmética

 Autor: Prof. Manuel Gómez

La búsqueda continua de nuevos resultados y generalizaciones de descubrimientos hechos ha sido siempre un motor de desarrollo de las ciencias matemáticas. Aunque esto se puede aplicar a prácticamente todas las ramas del saber, en particular en las matemáticas siempre ha existido la “fascinación” por ir un paso más allá de lo descubierto. Vale señalar que en numerosas ocasiones estos descubrimientos o aportes a la teoría por el mero hecho de “encontrar algo nuevo” han jugado un papel fundamental en la solución de problemas prácticos, ya sean dentro de la propia matemática, la física y otras ciencias naturales y sociales.

En particular la Teoría de Números es muy rica en ejemplos y resultados como los comentados arriba. Las operaciones de suma y multiplicación son de las operaciones más simples y básicas de la aritmética elemental, prácticamente aprendemos a sumar y multiplicar al mismo tiempo. Sin embargo, es curioso que estas dos operaciones no parecen “llevarse bien”, cuando en principio, la multiplicación no es mas que una “suma repetida”. De hecho “resolver” las tensiones entre la suma y la multiplicación es la base del desarrollo actual de la Teoría de Números.

En esta cuerda, en la búsqueda de relaciones entre la suma y la multiplicación es que aparece la ‘Conjetura ABC”. La conjetura fue propuesta inicialmente por Joseph Oesterlé (matemático francés nacido en 1954) y David Masser (matemático ingles nacido en 1948) en 1985. La conjetura ABC es uno de los enigmas más profundos y fascinantes de la Teoría de Números.

En términos simples la conjetura plantea que, dados tres números naturales a, b y c tales que a + b =c, el producto de los primos que forman el número a*b*c debe ser “casi siempre” mayor que c. Por decirlo de otra manera, los números "prefieren" no estar formados únicamente por potencias altas cuando están sumados.

Formalicemos un poco de qué se trata:

Definamos por rad(n): radical de n, como el producto de sus factores primos distintos, sin importar cuántas veces se repitan.
Aclarémoslo con ejemplos:
rad(16)=2, dado que 16=2^4
rad(18)=6, dado que 18=2*3*3
rad(15)=15, dado que 15=3*5
Formalmente, la conjetura estípula que para cualquier exponente ε > 0, solo existe un número finito de ternas (a, b, c) que cumplen:
c > (rad(a*b*c))^(1+ε).

Para entender realmente por qué la conjetura es tan especial, busquemos números que no cumplan con la conjetura, estos casos raros se llaman ternas ABC.

En primer lugar, pongamos un caso donde sí se cumple:
3 + 7 =10
Calculemos el radical de 3*7*10=210, esto es 210 dado que 210=2*3*5*7
Evidentemente 210 es bastante mayor que 10, de eso se trata la conjetura.

Ahora tomemos la siguiente terna de números (1,8,9).
1 + 8 = 9
rad(1*8*9) = rad(72)=6, pues 72=1*2*2*2*3*3
En este caso 6 es menor que 9. Este es un ejemplo clásico de una terna ABC.

A la fecha se han encontrado poco más de 14 millones de ternas ABC a través de métodos de computación distribuida. Hoy el enfoque se centra en encontrar ternas donde la relación c/rad(a*b*c) sea lo mayor posible, lo que se conoce como la "calidad" de la terna ABC.

Realmente lo que plantea la conjetura ABC no es un hecho menor, si se demostrara la conjetura ABC se resolverían un grupo de problemas y temas abiertos de las matemáticas y otros, como el Teorema de Fermat, pasarían a ser una consecuencia directa de la conjetura o sus soluciones fueran mucho más simples.

En 2012, el matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó un extenso trabajo donde afirma haber demostrado la conjetura. Esta demostración no ha sido confirmada en la actualidad, de hecho, ha sido rebatida por algunos matemáticos, entre ellos el Premio Field alemán Peter Scholze. Mochizuki no acepta las criticas y sigue siendo hoy un tema pendiente de solución.