El número de CHAMPERNOWNE o el número que contiene TODA tu vida.

 

David Gawen Champernowne (Reino Unido n.09-07-1912 m.19-08-2000)

Autor: Manuel Gómez.

Existe un número que nace simplemente de saber contar, pero que esconde los secretos más profundos del universo matemático, este es la Constante de Champernowne.

Si uniésemos o concatenásemos los números enteros positivos, con un punto decimal por delante, obtendríamos el número de Champernowne: 0,1234567891011121314…Al igual que $\pi$ y $e$, este número es irracional y transcendente, a saber, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. También se sabe que este número es “normal” en base 10, lo que significa que cualquier patrón finito de números se produce con la misma frecuencia estadística prevista para una secuencia totalmente aleatoria. 

Si un número es normal, ocurren cosas que parecen ciencia ficción: En algún lugar de sus decimales está tu nombre convertido a números, el código fuente de Photoshop, y la respuesta a todas las preguntas del universo. No puedes predecir el siguiente número basándote en patrones previos; es el desorden perfecto nacido de una regla, por lo general, simple.

David Champernowne demostró que este número es normal comprobando que no solo los dígitos del 0 al 9 se producen con una frecuencia porcentual que tiende a 10, sino que cada posible bloque de dos dígitos se producirá con una frecuencia porcentual que tienden a 1, cada bloque de tres dígitos con una frecuencia porcentual de 0.1 y así sucesivamente. Los criptógrafos han destacado que este número no responde a algunos de los indicadores estadísticos de ausencia de aleatoriedad más sencillos y tradicionales. En otras palabras, los programas informáticos sencillos que intentan encontrar regularidad en secuencias, quizás no vean la regularidad del número de Champernowne.

Lo más curioso es que, mientras que otros números irracionales como $\sqrt{2}$ o $e$ surgen de operaciones complejas o geometrías, la Constante de Champernowne surge de algo que aprendemos prácticamente desde que comenzamos a hablar: contar. La complejidad más absoluta nace de la regla más sencilla.

Para demostrar que el número de Champernowne en base 10 (decimal) es irracional, no necesitamos recurrir a fórmulas o razonamientos extremadamente complejos. Como sabemos, un número es irracional si es imposible que exista un bloque de dígitos que se repita periódicamente para siempre. Imaginemos que existe un bloque de $n$ dígitos que se repite infinitamente, dado que el número de Champernowne se construye concatenando todos los números naturales, sabemos que en algún momento aparecerán números como: $10^{2n}$ (un 1 seguido de $2n$ ceros), $10^{3n}$, etc. Si el supuesto bloque periódico tiene una longitud de $n$, en la construcción del número tarde o temprano aparece una secuencia de ceros mucho más larga que $n$, por ejemplo, $2n$ ceros seguidos, como siempre aparecerán números cada vez más largos con secuencias de ceros (o de cualquier otro dígito) que superan cualquier longitud de periodo imaginable, el número nunca puede estabilizarse en un patrón repetitivo.

Como comentamos antes, el número de Champernowne es trascendente. En 1937 el matemático alemán Kurt Mahler (Alemania 1903 -1988) demostró esta particularidad utilizando ecuaciones funcionales. Sin embargo, todavía no sabemos si el número de Champernowne es "absolutamente normal" (si es normal en todas las bases, no solo en base 10). Las matemáticas aún tienen secretos guardados sobre este número "tan simple". Si pudiéramos demostrar que el número de Champernowne es absolutamente normal, estaríamos ante el "generador de datos" perfecto. Sería la prueba de que una regla de orden simple genera aleatoriedad perfecta en cualquier sistema de representación.

Lo más curioso de la normalidad es que es "omnipresente pero invisible". Sabemos que, si eliges un número al azar entre 0 y 1, la probabilidad de que no sea normal es cero. Casi todos los números lo son. Sin embargo, demostrar que un número específico como $\pi$ o $\sqrt{2}$ es normal es uno de los retos más grandes de la historia, de hecho, a la fecha no se ha demostrado la normalidad de estos números. Es fácil crear un número normal "a medida", como el de Champernowne, pero es dificilísimo probarlo en números que ya existen en la naturaleza.