Métodos Numéricos en las Ecuaciones Diferenciales

 

"Los algoritmos nos guían, pero las matemáticas los crean" Anónimo

La dificultad, y por lo general imposibilidad, de obtener expresiones explícitas para la gran mayoría de las soluciones de las Ecuaciones Diferenciales, hizo que, casi desde su origen, se buscaran medios y métodos para acercarse o aproximarse a estas soluciones. En tal sentido los métodos numéricos jugaron, y todavía juegan, un papel fundamental en el estudio y resolución de las Ecuaciones Diferenciales.

Leonhard Euler (Suiza n.15-04-1702 m.18-09-1783) sistematizó las primeras aproximaciones para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, introduciendo el concepto de discretización del tiempo o espacio para obtener una solución numérica. Esencialmente el método de Euler consiste en aproximarse a la solución mediante segmentos de rectas, asumiendo que la pendiente (derivada) de la solución es constante en un intervalo h suficientemente pequeño. Es un método de primer orden donde el error es proporcional a h.

El matemático francés Augustin Louis Cauchy (Francia n.21-08-1789 m.23-03-1857) formalizó el método de Euler al demostrar rigurosamente la existencia y unicidad  de soluciones para EDO de primer orden, garantizando que el método numérico converge a la solución real cuando el tamaño del paso tiende a cero, siempre que la función cumpla con condiciones de continuidad fuerte. La demostración de Cauchy estableció la base teórica para el análisis numérico de ecuaciones diferenciales, garantizando la fiabilidad de las aproximaciones. 

No obstante, el método de Euler tiene un alto error de truncamiento local, del orden del cuadrado de h (paso) y global del orden h, lo que exige pasos de tiempo extremadamente pequeños, aumentando los errores de redondeo y el tiempo de cómputo. Con el objetivo de resolver los problemas antes mencionados, a finales del siglo XIX los alemanes Carl Runge (30-08-1856 m.03-01-1927) y Martin Wilhelm Kutta (Alemania n.03-11-1867 m.25-12-1944) desarrollaron lo que hoy se conoce como el método de Runge-Kutta.

Realmente más que un método, Runge y Kutta desarrollaron un conjunto de métodos iterativos, siendo el de orden 4 el de mayor uso para resolver EDO y que se encuentra implementado en varias plataformas informáticas, de hecho, al método de orden 4 (RK4) se le denomina directamente método de Runge-Kutta.

También para las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales se han desarrollado métodos numéricos para aproximarse a sus soluciones. En estos casos la idea principal de la mayoría de estos métodos numéricos es transformar las EDP en sistemas algebraicos resolubles. Los enfoques principales incluyen el Método de las Diferencias Finitas que aproxima derivadas en mallas, el Método de Elementos ideal para geometrías complejas, y el Método de Volumen Finito muy utilizado en dinámica de fluidos. En estos casos la elección del método va a depender de la geometría del problema, el tipo de ecuación (elíptica, parabólica, hiperbólica) y la necesidad de precisión, en todo caso el estudio de la estabilidad es un factor clave en la selección del método numérico.

El desarrollo actual de la Computacion y los sistemas Informaticos, donde las velocidades y capacidades de calculos han crecido exponencialmente, hacen que cada vez sean más ffecuentes y usados estos metodos para resolver Ecuaciones Diferenciales, tanto Ordianrias como en Derivadas Parciales. Como comentábamos antes, hay varias plataformas y sistemas informáticos donde todos estos métodos están implementados. En particular el sistema de código abierto GNU Octave contiene desarrollados todos estos procedimientos. Este software se puede descargar directamente desde el blog del Dr. Héctor Pijeira en la dirección https://pijeira.blogspot.com/p/cartera-de-software-matematico.html