Ecuaciones Diferenciales Estocásticas

 "La naturaleza no solo juega a los dados, sino que a veces los lanza donde no pueden ser vistos."

Stephen Hawking (Reino Unido n.08-01-1942 m.14-03-2018).

La efectividad de las Ecuaciones Diferenciales, tanto Ordinarias como en Derivadas Parciales, en la modelación y resolución de un gran número de problemas de las ciencias naturales y sociales hace que cada vez más los investigadores utilicen sus técnicas y resultados para abordar e intentar resolver más fenómenos en estudio. Precisamente las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE) surgieron a principios del siglo XX para modelar fenómenos físicos caracterizados por fluctuaciones aleatorias, siendo el movimiento browniano el caso fundacional.

En 1827 el biólogo escocés Robert Brown (Escocia n.21-12-1773 m.10-06-1858) describió el movimiento de partículas que se movían dentro de un grano de polen en el agua, aunque no pudo explicar las razones o leyes que provocaban este movimiento. Este hecho se conoce hoy como “movimiento browniano”, el que es, por naturaleza, un movimiento aleatorio. Aunque hay descripciones anteriores sobre fenómenos similares, de naturaleza aleatoria o estocástica, se atribuye a Robert Brown el descubrimiento de este fenómeno.

En 1905 Albert Einstien publica un articulo en el que explica con todo detalle cómo el movimiento que Brown había observado era el resultado de las micropartículas siendo movidas por moléculas de agua individuales, esta demostración sirvió como prueba convincente de la existencia de los átomos y moléculas. Los estudios de Einstein de conjunto con el físico y matemático polaco Marian Smoluchowski (Polonia n.28-05-1872 m.05-09-1917) llevó a la necesidad de modelar trayectorias aleatorias e irregulares en el estudio de fenómenos físicos similares. 

Fue Paul Langevin, físico francés (Francia n.23-01-1872 m.19-12-1946), quien propuso la primera ecuación diferencial para describir el movimiento, incorporando una fuerza aleatoria. El desarrollo teórico de las EDE se consolidó en la década de 1940 con los trabajos de matemático japonés Kiyoshi Itô (Japón n.01-09-1915 m.10-11-2008) sobre cálculo estocástico, permitiendo integrar ruidos aleatorios (como el ruido blanco) en sistemas dinámicos.

Actualmente las EDE son de capital importancia para el estudio y modelación de un grupo importante y diversos de sistemas dinámicos que evolucionan en el tiempo sujetos a incertidumbre, ruido o fluctuaciones aleatorias.

Son imprescindibles hoy para las finanzas y la economía en la valoración de precios de las acciones en las bolsas de valores, modelos de tasas de interés y gestión de riesgos, utilizando frecuentemente el cálculo de Itô para describir la evolución de activos.

En Física e Ingeniería se emplean para describir el movimiento de partículas en gases (ecuación de Langevin), el ruido en circuitos eléctricos, la fuerza del viento sobre hélices eólicas y cambios de fase en superconductividad.

Además, se usan para modelar el crecimiento poblacional aleatorio, el movimiento de microorganismos y la propagación de enfermedades.

Con la Inteligencia Artificial y la computación se resuelven ecuaciones diferenciales parciales estocásticas mediante redes neuronales y simulaciones de Monte Carlo para análisis de riesgo.