Teoría de Números y Polinomios Ortogonales

 

"Dios creó los polinomios de Jacobi; todo lo demás es obra del hombre." Richard Askey (EE.UU. n.04-06-1933 m.09-10-2019)

En principio pareciera que La Teoría de Números y la Teoría de los Polinomios Ortogonales son dos ramas completamente separadas. Por un lado, la Teoría de Números estudia los números primos: esos ladrillos discretos, rebeldes y aparentemente caóticos que construyen la aritmética. Por otro, los Polinomios Ortogonales, son las herramientas que permiten que Netflix cargue rápido, que los ingenieros predigan la estabilidad de un puente y que los físicos entiendan el átomo de hidrógeno, usados también para garantizar la estabilidad en las señales Wi-Fi y telefónicas, corrección exacta de la visión, para diseñar alas de aviones, comprimir archivos de audio o determinar la precisión exacta del mapa en un teléfono móvil.

Sin embargo, en la frontera de la matemática moderna, estos dos universos han colisionado, revelando que los números primos tienen una estructura musical, y los polinomios ortogonales son su partitura.

La Teoría de Números es tan antigua como las matemáticas mismas, su origen es puramente práctico (contar objetos), pero su desarrollo es una odisea de abstracción que hoy protege tus datos bancarios.

Si la Teoría de Números es la "Reina de las Matemáticas", los Polinomios Ortogonales son sus "Arquitectos". Su historia es el viaje de una herramienta que nació para resolver problemas de astronomía y terminó siendo la columna vertebral de la física moderna.

Los polinomios ortogonales juegan un papel decisivo en la teoría de aproximación. Es comparable a tener las piezas exactas de un rompecabezas para recrear una imagen: te permiten construir una función complicada usando piezas simples (polinomios) de la manera más eficiente posible.

El nacimiento de los polinomios ortogonales lo podemos situar en el siglo XVIII con los trabajos del matemático Adrien-Marie Legendre (Francia 1752 – 1833) quien estudiando problemas de astronomía y gravedad introdujo en 1784 los polinomios de Legendre. Durante el siglo XIX Chebyshev (Rusia 1821 – 1894) en sus trabajos de mecánica de vapor y problemas de aproximación introduce los polinomios de Chebyshev. Entre los años 1840 -1851 Carl Gustav Jacobi (Alemania 1804 -1851) introduce una familia mucho más amplia que engloba a casi todas las anteriores, el gran mérito de Jacobi fue entender que todos estos polinomios formaban parte de una misma familia de soluciones, antes de Jacobi, los matemáticos trataban a los de Legendre y Chebyshev como herramientas distintas.

Durante los siglos XX y XXI la teoría ha seguido desarrollándose con aplicaciones a espacios de funciones y la mecánica cuántica, así como a la computación, IA y señales digitales.

Dicho lo anterior, nuestro interés es destacar los nexos y puntos de contacto de los Polinomios Ortogonales con la Teoría de Números, de alguna manera comentar por qué los Números Primos "bailan" al son de los Polinomios Ortogonales.

Todo comienza con la Función Zeta de Riemann ($\zeta$). Bernhard Riemann (Alemania 1826 – 1866)

Originalmente, para un número real $s > 1$, la función zeta se define como una suma infinita:

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots$$

Como descubrió Euler, esta función es capaz de "empaquetar" a todos los números primos en un solo objeto matemático a través de su famoso producto:

$$\zeta(s) = \prod_{p \in \text{Primos}} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

Pero el misterio no está en la suma, sino en sus ceros. En 1859 Riemann extiende la suma anterior al plano complejo. Al llevar la función al terreno de los números complejos, Riemann descubrió que la distribución de los números primos está íntimamente ligada a los ceros de esta función. Los puntos donde esta función vale cero dictan la posición de los números primos.

Y entonces ocurre la magia. En los años 70 del siglo XX, se descubrió que la forma en que estos ceros se distribuyen en el plano complejo no es aleatoria, se "repelen" entre sí de una manera muy específica. Esta repulsión es idéntica a la que muestran las raíces de los Polinomios de Hermite y Laguerre cuando se usan para modelar los niveles de energía en física cuántica.

Esto no es solo teoría pura, dado que los Polinomios de Chebyshev “son maestros” en minimizar el error, en teoría de números se utilizan para acotar los números primos ya que ayudan a demostrar teoremas sobre cuántos primos hay en un intervalo dado, además se usan para demostrar que números como $\pi$ o $\zeta(3)$ no pueden ser racionales, lo que conecta a los Polinomios Ortogonales con el estudio de la irracionalidad.

Esta conexión sugiere que el aparente caos de los números primos es solo una ilusión. Si podemos entender la "armonía" de los polinomios ortogonales, podremos entender la Hipótesis de Riemann: “todos los ceros no triviales de la función zeta tienen una parte real exactamente igual a $1/2$”, así como mejorar la criptografía, hoy casi toda nuestra seguridad digital depende de que no entendemos bien a los primos, si encontramos su "ritmo" polinómico, la seguridad tal como la conocemos cambiaría.

La relación entre los polinomios ortogonales y la teoría de números nos enseña que la continuidad del análisis y la discreción de la aritmética son dos caras de la misma moneda. Los primos, que parecen brotar al azar, siguen en realidad las estrictas leyes de simetría y equilibrio que rigen a los polinomios. Cada vez que envías un mensaje cifrado o escuchas un MP3, estás usando indirectamente esta conexión. La compresión de datos y la seguridad matemática beben de la misma fuente: el orden que emerge de la ortogonalidad.