Paradoja de San Petersburgo

 

Autor: Manuel Gómez

La Paradoja de San Petersburgo es uno de esos rompecabezas matemáticos que nos obligan a admitir que los seres humanos no somos calculadoras andantes. Fue propuesta originalmente por Nicolas Bernoulli (Suiza 1695 -1726) en 1713, pero debe su nombre a su hermano, Daniel Bernoulli (Suiza 1700 – 1782), quien la resolvió años después en la Academia de Ciencias de esa ciudad rusa.

 Daniel Bernoulli, matemático, físico y medico nacido en Holanda y de origen suizo, escribió un artículo fascinante sobre probabilidad que se publicó en 1738 en la revista de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo. El artículo planteaba la paradoja, que en la actualidad se conoce como paradoja de “San Petersburgo”, que puede plantearse de forma sencilla en forma de un juego de “cara y cruz” en el que se gana dinero en función de los resultados obtenidos y en el que se paga una cantidad por entrar al juego. 

 Veamos una forma de interpretar el asunto. Se lanza una moneda hasta obtener una cruz. El número total de lanzamientos realizados, n, determina el premio, que será $2^n$ dólares. Así, si sale “cruz” en la primera tirada, el premio será de dos dólares $2^1=2$ y el juego concluye. Si el primer resultado es “cara”, se lanza la moneda de nuevo. Si el segundo lanzamiento el resultado es “cruz”, el premio será de 4 dólares $2^2=4$, y el juego concluye, y así sucesivamente hasta que en alguna tirada salga “cruz”.

Para la teoría de juegos, un “jugador racional” debería aceptar participar en un juego si y solo si el precio a pagar por participar fuera menor que el valor esperado de las ganancias. Filósofos y matemáticos han debatido durante años sobre cuál debería ser el precio justo por incorporarse al juego, se discute ¿Cuánto estarías dispuesto a pagar por participar?

¿Por qué aparece esta pregunta en un juego aparentemente sencillo? La respuesta está en que, según la “estadística pura”, el Valor Esperado para este problema es sorprendente: es infinito. De manera que deberías estar dispuesto a pagar cualquier cantidad de dinero, incluso miles de millones, por jugar una sola vez, ya que el retorno teórico es infinito. Sin embargo, en la vida real, nadie pagaría una suma muy alta por entrar. Esa es la paradoja.

 Daniel Bernoulli propuso que el error no está en la matemática, sino en cómo valoramos el dinero. introduciendo dos conceptos claves:

• Utilidad Marginal Decreciente: El valor de un dólar extra no es el mismo para alguien que tiene hambre que para un millonario. La "satisfacción" (utilidad) crece más lento que la riqueza.
• Aversión al riesgo: Los humanos preferimos una ganancia pequeña segura que una probabilidad minúscula de ganar una fortuna infinita.

 El reconocido economista estadounidense Peter Bernstein (EE.UU 1919 – 2009) señala acerca de la profundidad de la paradoja de Bernoulli, “su artículo es uno de los documentos más profundos jamás escritos, no sólo acerca de la noción de riesgo sino acerca de la conducta humana”. El énfasis que pone Bernoulli en las complejas relaciones entre matemáticas y conducta puede aplicarse a casi cualquier aspecto de la vida