El viaje de un proyectil y las matemáticas que lo guían

 

"No hay nada tan práctico como una buena teoría". Ludwig Boltzmann (Austria n.20-02-1844 m.05-09-1906)

Cuando lanzas algo al aire, parece que sigue una curva natural, pero esa curva no es casualidad. Es el resultado de una pelea constante entre fuerzas, y las matemáticas son las que llevan la cuenta de quién va ganando.

El movimiento de un proyectil es un baile entre la inercia (querer seguir derecho) y la gravedad (querer caer). Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje que usamos para describir ese baile paso a paso, milímetro a milímetro. Sin ellas, lanzar un satélite al espacio o simplemente encestar una canasta sería pura suerte.

Durante casi 2,000 años, nadie puso en dudas lo que decía el filósofo griego Aristóteles (Grecia 384 – 322 AC). Él pensaba que, si lanzabas una bala de cañón, esta se movía en línea recta hasta que se le "acababa el impulso" y, en ese momento, caía verticalmente hacia el suelo.

Era una idea lógica para la época, pero cualquiera que hubiera visto un cañón disparar sabía que algo no encajaba. Las balas no caían en ángulo recto; hacían una curva. Sin embargo, nadie sabía cómo explicar esa curva con números.

El primero en modelar esto de verdad fue Galileo Galilei (Italia 1564 – 1642) a principios del siglo XVII. Galileo hizo algo revolucionario: en lugar de solo observar, se puso a experimentar con planos inclinados y bolas de metal. Su gran descubrimiento fue el Principio de Superposición. Se dio cuenta de que el movimiento de un proyectil no era una sola cosa, sino la suma de dos movimientos independientes que ocurren al mismo tiempo:

• Movimiento Horizontal: A velocidad constante (si no hay aire).
• Movimiento Vertical: Una caída libre acelerada por la gravedad.

Al combinar estos dos movimientos en un papel, apareció una parábola. Galileo demostró matemáticamente que la trayectoria ideal de un proyectil es una curva parabólica perfecta. Esto fue un golpe directo a la ciencia antigua y el nacimiento de la física moderna.

Isaac Newton (Reino Unido 1642 – 1627) fue el primero en escribir el problema como una “Ecuación Diferencial”. Él no solo quería saber dónde caía la bala de cañón, sino que quería entender cómo cambiaba su velocidad en cada millonésima de segundo.

Newton nos dice que la fuerza neta sobre un objeto es igual a su masa por su aceleración ($F = m \cdot a$). En un proyectil, si despreciamos la resistencia del aire, la única fuerza que actúa es la gravedad.

El análisis de la trayectoria del proyectil lo podemos reducir al movimiento en un plano, pues lo que nos interesa es estudiar “la línea” que sigue el proyectil. De manera que, teniendo en cuenta que la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden:

• $m \frac{d^2x}{dt^2} = 0$, en el eje horizontal no hay fuerzas dado que hemos despreciado el aire.
• $m \frac{d^2y}{dt^2} = -mg$, en el eje vertical la fuerza es el peso.

Aquí $m$ es la masa del proyectil.

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es la parábola:

$$y = (v_0 \sin \theta) \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2$$

Donde $v_0$ es la velocidad de salida del proyectil y $\theta$ el ángulo de salida.

Como podemos apreciar la función anterior es una parábola del tipo $y = ax - bx^2$. Es decir, el primer termino representa hacia dónde iría el proyectil si no hubiera gravedad, el segundo término "tira" de la trayectoria hacia abajo, al tener una $x^2$ con signo negativo, hace que la curva se doble hacia el suelo.

La solución anterior nos permite afirmar que, al no depender de la masa (fijémonos que $m$ no aparece en la expresión de la solución), se confirma lo que decía Galileo: una bala de cañón y una canica siguen la misma curva si se lanzan igual y no hay aire. Por otro lado, si quieres que el alcance sea el máximo, 45° es el ángulo ideal porque equilibra perfectamente el tiempo que el objeto pasa en el aire con la velocidad a la que avanza, algo que también había confirmado Galileo en sus observaciones y experimentos.

En el siglo XVIII los matemáticos se dieron cuenta de que las parábolas de Galileo eran demasiado "bonitas" para ser verdad. En el mundo real, los cañones no disparaban tan lejos como decía la teoría de Galileo porque el aire frenaba las balas.

Ellos empezaron a añadir términos de "fricción" a las ecuaciones de Newton. Como estas nuevas ecuaciones eran imposibles de resolver con papel y lápiz de forma exacta, inventaron métodos para aproximar la respuesta paso a paso, ver https://gilbeworld.blogspot.com/2026/02/metodos-numericos-en-las-ecuaciones.html. Esos mismos métodos son los que hoy usan las computadoras de los aviones para navegar.

Si Galileo fue quien descubrió la forma de la curva y Newton quien dio las leyes del movimiento, Leonhard Euler (Suiza 1707 – 1783) fue quien "aterrizó" las matemáticas al mundo real. Euler sabía que las ecuaciones de Galileo fallaban por mucho cuando se disparaban balas de cañón a grandes velocidades. El aire no es un vacío; ofrece una resistencia feroz, introdujo entonces en las ecuaciones diferenciales el término de arrastre o fricción. Su ecuación sería algo así:

$$\text{Aceleración} = \text{Gravedad} - (\text{Resistencia del aire})$$

El problema es que la resistencia del aire depende de la velocidad al cuadrado ($v^2$). Esto convertía una ecuación sencilla en una ecuación diferencial "no lineal", algo que no se puede resolver con una fórmula simple, de ahí que sus trabajos se centraron en soluciones numéricas y de aproximación para estas ecuaciones.

Euler tradujo y amplió un libro sobre balística del inglés Benjamin Robins. Sus notas eran tan extensas y brillantes que el libro se convirtió en el manual estándar para todos los ejércitos de Europa. Calculó tablas de tiro que decían a los artilleros: "Si el aire está así y tu bala pesa tanto, no apuntes a 45°, apunta a este ángulo específico". Convirtió el arte de la guerra en una ciencia de precisión.

Si Galileo nos dio el mapa ideal, Euler nos dio el manual de instrucciones para el mundo real. Fue el primero en entender que para predecir el futuro de un objeto en movimiento, a veces no basta con una fórmula, sino que hay que seguirlo paso a paso, milímetro a milímetro.

Lo que empezó como una duda de Galileo mirando piedras rodar, y se convirtió en una ley universal con Newton, hoy es el lenguaje que permite que nuestro mundo moderno funcione. Las ecuaciones diferenciales de los proyectiles no son solo garabatos en un cuaderno de física; son las reglas del juego de la realidad.

Hoy en día, el legado de Galileo, Newton y Euler vive en el código de nuestra tecnología más avanzada. El problema del proyectil se resuelve millones de veces en los procesadores de los motores de física de videojuegos, que calculan trayectorias realistas para que te sumerjas en la acción. Es la base que permite a SpaceX aterrizar cohetes de forma autónoma, a los drones estabilizarse frente a ráfagas de viento y a los sistemas de navegación de los aviones corregir su ruta en tiempo real.