El Último Teorema de Fermat: Del Descenso Infinito a Andrew Wiles

 

"Fermat no era un matemático profesional, sino un aficionado, y este hecho ha animado a generaciones de aficionados a intentar resolver su problema". Simon Singh (Reino Unido n.19-09-1964)

El mundo de las matemáticas no suele ocupar los titulares de la prensa generalista, pero existe un enigma que logró romper las barreras de la academia para convertirse en una leyenda popular. Se trata del Último Teorema de Fermat, una afirmación tan simple de entender que un niño podría comprenderla, pero tan endiabladamente difícil que los mejores cerebros del planeta tardaron 358 años en resolverla.

La historia comienza en 1637. Pierre de Fermat (Francia 1601 – 1665), un jurista francés apasionado por los números estaba estudiando una copia de la Aritmética de Diofanto. Al llegar a la sección sobre el Teorema de Pitágoras, la famosa ecuación $x^2 + y^2 = z^2$, Fermat escribió en el margen una nota que atormentaría a la posteridad:

"Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y, en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias del mismo grado. He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa para este hecho, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla."

Fermat afirmaba que la ecuación $x^n + y^n = z^n$ no tiene soluciones enteras positivas para cualquier valor de $n > 2$.

El Último Teorema de Fermat tiene una propiedad lógica muy útil: si logras demostrar que el teorema es cierto para un exponente $n$, automáticamente es cierto para todos los múltiplos de $n$.

Efectivamente, sea $m=a*n$. Si existiera una solución para $x^m + y^m = z^m$, podríamos escribirla como:

$$(x^a)^n + (y^a)^n = (z^a)^n$$

Esto significaría que habríamos encontrado una solución para el caso $n$, usando los números $A=x^a$, $B=y^a$, $C=z^a$. Por lo tanto, si sabemos que $n$ no tiene soluciones $m=a*n$ tampoco puede tenerlas.

Gracias a esta lógica, para demostrar el teorema para todos los números naturales solo hace falta demostrarlo para:

1. $n=4$ (el único caso de potencia de 2 necesario, ya que todos los números pares mayores que 2 son múltiplos de 4 o contienen un factor primo impar).
2. Todos los números primos impares.

Curiosamente, la única demostración que Fermat sí dejó escrita en detalle fue para el caso $n=4$. Para ello utilizó una técnica elegante y poderosa llamada “Descenso Infinito”. La prueba funciona por contradicción. Suponemos que existe una solución entera mínima para $x^4 + y^4 = z^4$. Mediante manipulaciones algebraicas y propiedades de las ternas pitagóricas, demostramos que, si existe esa solución, debe existir otra solución aún más pequeña. Como los números enteros positivos no pueden disminuir infinitamente (siempre llegaríamos al 1), la existencia de una solución inicial es imposible.

Hagamos un esbozo breve de esta demostración. Aquí lo importante es notar que si demostramos que $x^4 + y^4 = z^2$ (1) no tiene solución, automáticamente demostramos que $x^4 + y^4 =  z^4$ (2) tampoco la tiene, pues si (2) tuviera solución, digamos (x,y,z), entonces la terna (x,y,w), con $w=z^2$ seria solución de (1).

Supongamos que existe tal solución y sea la terna $(x^2, y^2, z)$ una terna pitagórica. Aplicando la fórmula de Euclides para generar ternas Pitagóricas, sabemos que existen sendos números a y b que satisfacen:

• $x^2 = a^2 - b^2$
• $y^2 = 2ab$
• $z = a^2 + b^2$

De $x^2 = a^2 - b^2$, obtenemos $x^2 + b^2 = a^2$. Esto implica que $(x, b, a)$ es otra terna pitagórica. Aplicando la fórmula de nuevo:

• $b = 2pq$
• $x = p^2 - q^2$
• $a = p^2 + q^2$

Si sustituimos esto en $y^2 = 2ab$, obtenemos $y^2 = 2(p^2 + q^2)(2pq) = 4pq(p^2 + q^2)$. Para que esto sea un cuadrado perfecto, $p$, $q$ y $(p^2 + q^2)$ deben ser cuadrados perfectos. Digamos:

$p = u^2, q = v^2, p^2 + q^2 = w^2$.

Sustituyendo, llegamos a:

$$(u^2)^2 + (v^2)^2 = w^2 \implies u^4 + v^4 = w^2$$

Hemos encontrado una nueva solución $(u, v, w)$ de la ecuación (1), y lo más importante: $w < z$. Este proceso podría repetirse eternamente, lo cual es imposible en los números naturales. Por tanto, no hay solución para el caso n=4.

Tras la muerte de Fermat, su hijo publicó la edición de la Aritmética con las notas marginales de su padre. A partir de ahí, comenzó una cacería intelectual que duraría siglos.

Leonhard Euler (Suiza 1707 – 1783) en el siglo XVIII logró demostrar el teorema para $n=3$. Para ello, tuvo que introducir números complejos en la teoría de números, una técnica revolucionaria para la época. Euler publicó esta demostración en 1770, pero técnicamente contenía un error que se solventó años después. Euler utilizó también el método del Descenso Infinito para el caso $n=3$. Para que funcionara, necesitaba trabajar con expresiones de la forma $a^2 + 3b^2$.

Él asumió que estas expresiones se comportaban como los números enteros normales. Es decir, asumió que, si un número de esa forma dividía a un cubo, sus factores también debían ser de esa misma forma. Sin embargo, Euler estaba usando, sin saberlo, las propiedades de esos números. Trabajó con números complejos de la forma: $a + b\sqrt{-3}$,el problema es que Euler dio por hecho que en ese sistema numérico existía la factorización única. La ironía es que, para el caso específico de $a + b\sqrt{-3}$, la factorización única no siempre funciona de la misma manera que en los enteros.

Euler no demostró que este sistema de números complejos fuera "bien portado", simplemente lo usó como si fuera aritmética básica. Pero resulta que, por pura suerte matemática, las propiedades que él necesitaba para $n=3$ sí se cumplen en ese sistema particular, aunque él no las probó formalmente.

Gotthold Eisenstein (Alemania 1823 – 1852), fue un "corrector histórico" en la historia del Último Teorema de Fermat. Aunque el caso $n=3$ se le atribuye a Euler, la estructura matemática que lo hace riguroso y comprensible hoy en día es la que proporcionan los llamados Enteros de Eisenstein.

Para resolver $x^3 + y^3 = z^3$ Eisenstein formalizó un conjunto de números complejos que viven en un plano con geometría hexagonal. Estos números tienen la forma: $a + b\omega$, donde $\omega$ es la raíz cúbica compleja de la unidad: $\omega = e^{2\pi i / 3} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.

Mientras que los enteros normales se alinean en una recta, los de Eisenstein forman una red triangular en el plano complejo. Esta estructura es la que encaja perfectamente con la potencia cúbica. Como comentamos, Euler usó números de la forma $a + b\sqrt{-3}$, pero tuvo problemas porque ese sistema no es un "Dominio de Factorización Única" (DFU), sin embargo, los Enteros de Eisenstein sí son un DFU. Esto significa que en el mundo de Eisenstein al usar “su aritmética”, el paso que Euler "asumió" (que si un producto es un cubo, sus factores deben ser cubos) se vuelve demostrable y legal.

Eisenstein no solo ayudó con el caso n=3. Su trabajo fue pionero en el estudio de los enteros ciclotómicos (números basados en dividir un círculo en partes iguales). Eisenstein demostró que estos sistemas numéricos tienen leyes de reciprocidad muy potentes. Gracias a él, los matemáticos entendieron que para resolver el Teorema de Fermat para un exponente $n$, debían "mudarse" de los números enteros a estos nuevos sistemas complejos.

En resumen: Euler tiene el crédito de haber tenido la idea correcta y el camino lógico (descenso infinito + números complejos), pero su demostración no sería aceptada hoy en un examen de matemáticas moderno por falta de rigor en la teoría de números algebraicos.

Sophie Germain (Francia 1776 – 1831), en el siglo XIX, una era donde las mujeres tenían prohibido el acceso a la alta matemática, ver https://gilbeworld.blogspot.com/2026/02/pioneras-las-duenas-del-siglo-xix.html, desarrolló una estrategia para demostrar el teorema para una clase entera de números primos (los "Primos de Germain"), permitiendo avances críticos para $n=5$ y $n=7$.

La contribución de Sophie Germain marcó un antes y un después en la historia del teorema. Antes de ella, los matemáticos intentaban atacar el problema exponente por exponente ($n=3$, luego $n=4$, luego $n=5$). Germain fue la primera en intentar una estrategia general para una familia infinita de exponentes. Germain fue la primera en dividir formalmente el problema en dos situaciones lógicamente distintas para un exponente primo $p$:

• Caso I: Ninguno de los números $x, y, z$ es divisible por $p$.
• Caso II: Al menos uno de los números $x, y, z$ es divisible por $p$.

Esta distinción fue crucial porque el Caso I es significativamente más fácil de atacar. Sophie Germain concentró sus esfuerzos allí, logrando resultados que asombraron a la comunidad matemática. Su técnica se basaba en una propiedad de ciertos números primos que hoy llevan su nombre, los Primos de Germain.

Un número primo $p$ es un Primo de Germain si $2p + 1$ también es un número primo. Los resultados de su investigación, que envió a Gauss, aunque realmente fue publicado por Legendre (Francia 1752 – 1853) en 1823, establecía lo siguiente: Si $p$ es un número primo impar y existe un "primo auxiliar" $\theta$ (como $\theta = 2p+1$) que cumple ciertas condiciones de congruencia (específicamente, que no existan dos residuos de potencias $p$-ésimas cuya diferencia sea 1 módulo $\theta$), entonces el Caso I del Último Teorema de Fermat es cierto para el exponente $p$.

De un solo golpe, demostró que para todos los primos $p < 100$, no existían soluciones para el Caso I. Esto incluía casos que nadie había podido tocar, como $n=5, 7, 11, 13, \dots$ hasta el $97$. Fue un salto de gigante: pasó de demostrar números individuales a demostrar una propiedad general para una clase de números. La técnica de Germain era puramente aritmética modular. Su razonamiento era el siguiente: si $x^p + y^p = z^p$ tiene solución, entonces al observar la ecuación bajo un módulo $\theta$ (donde $\theta = 2np + 1$), las opciones para $x, y, z$ se reducen drásticamente.

Demostró que para que la ecuación se cumpla, uno de los términos $x, y$ o $z$ debe ser múltiplo de $p^2$ o de $\theta$. Al aplicar estas restricciones de forma sucesiva, generaba una contradicción que invalidaba la existencia de soluciones en el Caso I.

Aunque Germain no terminó la prueba completa para $n=5$ (que incluye el Caso II), sus métodos fueron la base sobre la cual Dirichlet (Alemania 1805 – 1859) y Legendre finalmente cerraron ese caso en 1825. Sin el marco teórico que ella construyó sobre la divisibilidad y los primos auxiliares, el avance habría tardado décadas más. Su trabajo fue la única contribución importante al teorema durante casi 100 años que no se basó en el descenso infinito de Fermat, sino en una comprensión profunda de la estructura de los números primos.

A mediados del siglo XIX, los matemáticos estaban frustrados: habían resuelto los casos $n=3, 4, 5$ y $7$, pero cada nuevo número primo requería una demostración completamente diferente y más difícil. Como vimos con Euler y Eisenstein, para atacar $x^p + y^p = z^p$, los matemáticos usaban números complejos llamados enteros ciclotómicos.

En este escenario, el matemático alemán Ernst Kummer (Alemania 1810 – 1893) descubrió algo significativo: para primos mayores o iguales a 23, la factorización única deja de funcionar. En esos mundos numéricos, un número puede descomponerse en primos de dos formas distintas. Esto destruía cualquier intento de usar el método de Fermat del Descenso Infinito. Para arreglar este “desastre”, Kummer inventó los "números ideales" y midió qué tan "mal" se comportaba un número primo mediante algo llamado el número de clase ($h$). Un primo $p$ es regular si no divide al número de clase ($h$) de su correspondiente campo ciclotómico.

Si un primo es regular, Kummer demostró que, aunque la factorización única no funcione perfectamente, todavía se pueden usar herramientas algebraicas para "forzar" que el Último Teorema de Fermat sea cierto. Kummer logró demostrar de un solo golpe que el Teorema de Fermat es cierto para todos los primos regulares.

Un primo es irregular si divide a su propio número de clase. En estos casos, la estructura aritmética es tan compleja que la demostración de Kummer no funciona. Kummer encontró una forma asombrosa de saber si un primo es irregular sin tener que calcular el número de clase. Un primo $p$ es irregular si divide al numerador de alguno de los Números de Bernoulli ($B_k$) hasta el índice $p-3$.

El primer primo irregular es el 37 porque el 37 divide al numerador del 32º número de Bernoulli ($B_{32} = -\frac{7709321041217}{510}$, y $7.709.321.041.217 \div 37 = 208.360.028.141$). Otros primos irregulares son el 59, 67, 101, 103. Gracias a Kummer, el Teorema de Fermat pasó de ser un problema de "adivinar números" a un problema de Estructura Algebraica. Kummer resolvió el teorema para todos los números menores a 100, excepto para los irregulares 37, 59 y 67.

Esto dejó claro que, para resolver el teorema de forma general, no podíamos ir "primo por primo", se necesitaba una teoría que englobara a todos los números a la vez, y esa fue la que Andrew Wiles (Reino Unido 1953) construyó 150 años después.

Durante mucho tiempo, el Teorema de Fermat se consideró una curiosidad aislada. Todo cambió cuando se trazó un puente entre dos áreas inconexas: las Curvas Elípticas y las Formas Modulares.

El origen se remonta a septiembre de 1955. Durante el Simposio Internacional sobre Teoría de Números en Tokio y Nikko, el matemático japonés Yutaka Taniyama (Japon 1927 – 1958) presentó una lista de 36 problemas. El Problema 12 contenía la semilla de la conjetura, sugiriendo una relación entre las funciones $L$ de curvas elípticas y formas modulares.

Su amigo y colega Goro Shimura (Japón 1930 – 2019) refinó y formalizó la idea. Shimura le dio el rigor matemático necesario y la difundió ampliamente en la comunidad académica, conociéndose como la Conjetura de Taniyama-Shimura.

La Conjetura dice: Para cada curva elíptica sobre los números racionales, existe una forma modular que le corresponde perfectamente.

En 1986, Kenneth Ribet (EE.UU. 1948) demostró que, si el Teorema de Fermat fuera falso, existiría una curva elíptica tan extraña que no podría ser modular. Esto cambió la meta: si se demostraba la Conjetura de Taniyama-Shimura, se resolvía el Teorema de Fermat.

Andrew Wiles, un matemático británico que soñaba con este teorema desde los 10 años trabajó en secreto durante siete años. En 1995, tras un intenso proceso de revisión y la corrección de un error inicial, presentó la prueba definitiva.

Wiles no usó aritmética básica; usó la "artillería pesada" de la matemática moderna:

1. Sistemas de Taylor-Wiles: Una técnica para contar representaciones galoisianas que permitió demostrar que las curvas elípticas de cierto tipo eran efectivamente modulares.
2. Teoría de Deformación: Analizó cómo las propiedades de las ecuaciones cambian de manera continua para "atar" las curvas elípticas a las formas modulares.
3. Álgebras de Hecke: Estructuras que permitieron establecer la correspondencia entre los coeficientes de las formas modulares y los datos de las curvas elípticas.

El Último Teorema de Fermat no fue solo un reto de ingenio; fue el motor que impulsó el desarrollo de la teoría de números moderna. Aunque Fermat probablemente no tenía la "demostración maravillosa" que afirmaba tener (dado que las herramientas de Wiles no existían entonces), su audacia nos regaló uno de los viajes intelectuales más fascinantes de la historia. Hoy, el teorema es una verdad absoluta, recordándonos que, en matemáticas, la persistencia es tan importante como el genio.