La insolencia de los trascendentes: cuando Hilbert se equivocó de dificultad

 

En colaboración con el Profesor Manuel Gómez.

“Un número trascendente es aquel que no puede ser medido por la regla del álgebra, pero cuya presencia es indispensable para medir la continuidad del cosmos”. Henri Poincaré (Francia 1854 – 1912).

Durante siglos, las ecuaciones tuvieron razones para sentirse importantes. Con suficientes términos, potencias y coeficientes, parecían capaces de perseguir casi cualquier número hasta obligarlo a confesar de dónde venía. El problema apareció cuando las matemáticas descubrieron que existían fugitivos.

Las soluciones de las ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros forman el conjunto de los números algebraicos ($\mathbb{\overline{Q}}$). Un número racional como $3/4$ es algebraico (solución de $4x - 3 = 0$), pero también lo es un irracional real como $\sqrt{2}$ ($x^2 - 2 = 0$) o un número algebraico complejo no real como la unidad imaginaria $i$ ($x^2 + 1 = 0$). Por otro lado, existen números que jamás pueden obtenerse como raíz de ninguna ecuación polinómica no nula con coeficientes enteros: son los números trascendentes.

En el Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en París en el verano de 1900, David Hilbert presentó su célebre lista de 23 problemas sin resolver destinados a guiar la investigación del siglo XX, ver https://gilbeworld.blogspot.com/2026/01/los-problemas-de-hilbert-y-el-instituto.html. Entre ellos, el séptimo problema planteó una pregunta aparentemente simple sobre potencias y exponentes, pero cuya profundidad terminó transformando para siempre la teoría de números: ¿será siempre $a^b$ trascendente cuando $a$ es algebraico ($\neq 0, 1$) y $b$ es un número irracional algebraico (por ejemplo, $2^{\sqrt{2}}$)?

La idea de “trascendencia” llevaba tiempo rondando. Gottfried Leibniz (Alemania 1646 – 1716) había utilizado ese lenguaje desde el siglo XVII y Leonhard Euler (Suiza 1707 - 1783) desarrolló después la distinción entre lo algebraico y aquello que escapaba de ese territorio. Pero faltaba algo incómodo: demostrar que esos números realmente existían.

Joseph Liouville (Francia 1809 – 1882) lo hizo en 1844 gracias a un descubrimiento genial en la teoría de la aproximación diofántica: demostró que los números algebraicos irracionales tienen una "barrera" de precisión que les impide dejarse aproximar "demasiado bien" por fracciones de enteros. Específicamente, probó que para cualquier algebraico $\alpha$ de grado $n > 1$, la diferencia $\vert{}\alpha - p/q\vert{}$ siempre es mayor que una cota proporcional a $1/q^n$.

Sabiendo esto, Liouville diseñó deliberadamente un número cuya construcción rompía esa barrera de protección mediante una suma infinita con un crecimiento super-exponencial en sus ceros:

$$L = \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\dots$$

Donde los dígitos 1 aparecen únicamente en las posiciones factoriales ($1!, 2!, 3!, 4!, \dots$). Al aproximar $L$ mediante sus cortes finitos, la precisión violaba la cota requerida para cualquier grado $n$. El veredicto era inevitable: $L$ no podía ser raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes enteros. La existencia de los números trascendentes había quedado demostrada rigurosamente.

Parecía una fauna matemática bastante exótica hasta que Charles Hermite (Francia 1822 – 1901) demostró en 1873 que la base de los logaritmos naturales, $e$, pertenecía a ella.

Un año después, Georg Cantor (1845 – 1918) empeoró considerablemente la situación para el orgullo del álgebra: probó que los números algebraicos podían enumerarse, mientras que los números reales eran incontables.

La demostración de Cantor para probar que los algebraicos son numerables es de una elegancia asombrosa:

Un polinomio con coeficientes enteros $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ puede clasificarse según su "altura" $h$, definida como $h = n + \vert{}a_n\vert{} + \dots + \vert{}a_0\vert{}$. Para cada valor entero de altura $h \ge 2$, solo existe una cantidad finita de polinomios posibles. La unión de infinitos conjuntos finitos da como resultado un conjunto numerable de polinomios. Por el Teorema Fundamental del Álgebra, cada polinomio de grado $n$ aporta como máximo $n$ raíces en el plano complejo. El conjunto de los números algebraicos es una unión numerable de conjuntos finitos, lo que prueba matemáticamente que $\mathbb{\overline{Q}}$ es numerable.

Dado que los números reales ($\mathbb{R}$) son incontables (demostrado por el célebre argumento de la diagonal de Cantor), la conclusión era devastadora: los trascendentes no eran unas cuantas anomalías escondidas entre números respetables. Eran una multitud.

Y en 1882 Ferdinand von Lindemann (Alemania 1852 - 1939) colocó entre ellos a uno de los números más célebres de la historia: $\pi$. Su demostración tuvo además una víctima de más de dos mil años. La antigua cuadratura del círculo, perseguida desde los griegos con regla y compás, quedó definitivamente sentenciada. No faltaba encontrar una construcción especialmente ingeniosa: bajo esas reglas, era imposible

El teorema de Lindemann-Weierstrass (en 1885 Karl Weierstrass (Alemania 1815 - 1897) generalizó el resultado anterior de Lindemann) demostró que si $\alpha$ es un número algebraico distinto de cero, $e^\alpha$ es trascendente. Esto resolvía el comportamiento de la función exponencial cuando el exponente era algebraico. Sin embargo, la operación inversa y el comportamiento de potencias generales de la forma $a^b$ permanecían envueltos en la oscuridad.

Entonces Hilbert enunció la siguiente conjetura:

Si $a$ y $b$ son números algebraicos complejos, con $a \notin \{0, 1\}$, y $b$ no es un número racional (es decir, $b \in \mathbb{\overline{Q}} \setminus \mathbb{Q}$), ¿es siempre trascendente la potencia $a^b$?

Hilbert no eligió sus 23 problemas al azar. Vio en el séptimo problema el paso natural para entender la interacción profunda entre la aritmética, el álgebra y las funciones analíticas en el plano complejo. Sin embargo, cometió un error memorable de apreciación sobre la dificultad de sus propios enigmas.

En una célebre conferencia dictada en Gotinga hacia 1919, Hilbert comentó ante sus alumnos la dificultad relativa de tres grandes problemas de la matemática: la Hipótesis de Riemann, el Último Teorema de Fermat y su propio Séptimo Problema.

Según recordó años más tarde el matemático Carl Ludwig Siegel (Alemania 1896 – 1981), quien se encontraba entre el público cuando era un joven estudiante, Hilbert afirmó que esperaba que la Hipótesis de Riemann se resolviera muy pronto; creía que el Último Teorema de Fermat lo resolverían tal vez los jóvenes estudiantes presentes en la sala... y sentenció que ninguno de los allí presentes viviría para ver la resolución del Séptimo Problema, al que consideraba de una dificultad prácticamente insuperable.

¡La historia demostró que se equivocó por completo!

El Séptimo Problema fue el primero de los tres en resolverse, apenas 15 años después de aquella conferencia (en 1934), en plena vida de Siegel y de los demás jóvenes que escuchaban la charla. Mientras tanto, Fermat requeriría casi un siglo (1995) y la Hipótesis de Riemann continúa siendo un misterio absoluto en la actualidad. Hilbert consideraba el problema de $a^b$ un obstáculo analítico colosal, pero no previó la rapidez con la que Gelfond y Schneider desarrollarían las herramientas para conquistarlo.

Tras años de estancamiento, el primer avance de peso llegó en 1929, cuando el matemático soviético Aleksandr Gelfond (Rusia 1906 - 1968) demostró que la constante $e^\pi$ era efectivamente trascendente mediante el uso de funciones enteras interpolacionales.

Poco después, de manera independiente y casi simultánea, en 1934 Aleksandr Gelfond y en 1935 el matemático alemán Theodor Schneider (Alemania 1911 - 1988) publicaron la demostración general del problema. El resultado se conoce hoy como el Teorema de Gelfond-Schneider.

Teorema de Gelfond-Schneider:

Si $a$ y $b$ son números algebraicos complejos tales que $a \notin \{0, 1\}$, y $b \notin \mathbb{Q}$, entonces cualquier valor de la potencia $a^b = \exp(b \ln a)$ es un número trascendente.

La prueba utiliza una técnica de demostración por reducción al absurdo mediante el uso de funciones auxiliares:

Hipótesis del absurdo: Se supone que $\gamma = a^b$ no es trascendente, sino un número algebraico. Esto implicaría que el cuerpo formado por $a, b$ y $\gamma$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$.

Construcción de la función auxiliar: Utilizando el Lema de Siegel (que garantiza la existencia de soluciones enteras no nulas en sistemas lineales indeterminados), se construye la función:

1. $$F(z) = \sum_{k_1=0}^{N} \sum_{k_2=0}^{N} C_{k_1, k_2} \, a^{(k_1 + k_2 b) z}$$

   Los coeficientes enteros $C_{k_1, k_2}$ se eligen de tal manera que $F(z)$ y un número masivo de sus primeras derivadas se anulen exactamente en una malla de puntos enteros $z = 1, 2, \dots, M$.

El conflicto analítico-aritmético: Por el lado del análisis complejo, al tener tantas raíces fuertemente concentradas, el principio del módulo máximo obliga a que $F(z)$ crezca con extrema lentitud y se vuelva infinitesimalmente pequeña en regiones amplias. Por el lado de la aritmética algebraica, existe una propiedad fundamental: los números algebraicos no nulos tienen una "altura" o tamaño aritmético mínimo; no pueden ser arbitrariamente pequeños sin ser exactamente cero.

Al ajustar los parámetros $N$ y $M$, la cota analítica exige que el valor evaluado sea menor que la cota aritmética mínima permitida para un algebraico no nulo. La única salida a esta incompatibilidad es que la suposición inicial fuera falsa: $\gamma = a^b$ debe ser trascendente.

Gracias a este teorema, se confirmó de manera definitiva la trascendencia de números como $2^{\sqrt{2}}$, $\log_2 3$ y la constante de Gelfond $e^\pi$.

Hoy sabemos que, en el sentido de la medida de Lebesgue, casi todos los números reales son trascendentes. Sin embargo, demostrar que un número concreto lo es puede exigir matemáticas extraordinariamente profundas. Incluso combinaciones aparentemente inocentes de constantes conocidas siguen guardando secretos: a día de hoy, ni siquiera sabemos si $\pi + e$, $\pi \cdot e$ o $2^e$ son números trascendentes o algebraicos.

Quizá ahí esté la verdadera insolencia de estos números.

Las ecuaciones algebraicas pueden describir un universo enorme, elegante y extraordinariamente fértil. Pero la recta real es todavía mayor. Las matemáticas tardaron siglos en descubrir que aquello que escapaba de sus ecuaciones no vivía en los márgenes.

El Séptimo Problema de Hilbert no solo transformó la teoría de números moderna al dar origen al Teorema de Gelfond-Schneider; también nos dejó una gran lección de humildad. Nos enseñó que la intuición incluso de los genios puede fallar sobre la dificultad de un enigma y nos confirmó que, mientras las ecuaciones algebraicas construyen hermosas estructuras finitas, los números trascendentes constituyen el vasto e infinito océano sobre el que todas ellas flotan.