Los Problemas de Hilbert y el Instituto Clay

 “Si yo me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿ha sido demostrada la hipótesis de Riemann?” 

David Hilbert (Alemania n.23-01-1862 m.14-02-1943).

En el marco de la Exposición Universal de Paris (15 de abril al 12 de noviembre 1900) se celebró en esta ciudad del 6 al 12 de agosto el Congreso Internacional de Matemáticos que pasaría a la historia, entre otras cosas, porque el 8 de agosto el matemático David Hilbert, considerado por muchos como el más relevante de su generación, presentó una lista de 23 problemas no resueltos que marcaron el rumbo de la investigación matemática durante el siglo XX. Realmente en dicha conferencia Hilbert enunció los 10 que consideraba más relevantes, aunque la lista completa influyó profundamente en el desarrollo de la matemática moderna, abordando áreas como la teoría de números, geometría y lógica.

Los 10 problemas enunciados por Hilbert en su ponencia fueron:
1.- Problema 1: La hipótesis del continuo de Cantor.
 2.- Problema 2: La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
3.-Problema 3: La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros.
4.- Problema 5: El concepto de grupo de Lie.
5.- Problema 6: Axiomatización de la física
6.- Problema 7: Irracionalidad y trascendencia de ciertos números
7.- Problema 8: El problema de los números primos (Hipótesis de Riemann).
8.- Problema 10: Decidibilidad de ecuaciones diofánticas
9.- Problema 13: Solución de ecuaciones de séptimo grado.
10.- Problema 16: Ciclos límite de sistemas polinomiales.

En la lista anterior los números de los problemas se refieren al orden dado por Hilbert a los 23 problemas.

En la actualidad 17 de estos problemas han sido parcial o totalmente resueltos, y todos, hasta los intentos fallidos, han contribuido al desarrollo de las matemáticas dejando huellas muy profundas a lo largo de estos años. Los problemas 8, 13 y 16 se consideran hoy como los principales retos a resolver.

Siguiendo estas ideas en el año 2000 el Instituto Clay (El Instituto Clay de Matemáticas es una fundación sin fines de lucro de Cambridge, Massachusetts, dedicada a incrementar y diseminar el conocimiento matemático.​ Fue fundado en 1998 por Landon T. Clay, quien la financia, y por el matemático Arthur Jaffe de la Universidad Harvard) publicó los siete Problemas del Milenio:

1. P vs NP: ¿Si una solución es fácil de verificar, también es fácil de encontrar?
2. Hipótesis de Riemann: Sobre la distribución de los números primos
3. Conjetura de Hodge: Relacionada con formas y topología.
4. Conjetura de Poincaré sobre la topología de las 3-esferas.
5. Existencia de Yang-Mills y el salto de masa: Un problema de física cuántica.
6. Ecuaciones de Navier-Stokes: Relacionadas con la dinámica de fluidos.
7. Conjetura de Birch y Sinnerton-Dyer: Sobre soluciones de ecuaciones diofánticas. 

De estos problemas, solo el 4, la Conjetura de Poincaré, ha sido resuelto.