Geometría Diferencial y Análisis Geométrico.

"Suelo decir que los campos vectoriales son como un hombre, y las formas diferenciales como una mujer. La sociedad necesita dos sexos. Si solo tienes uno, no es suficiente." Shiing-Shen Chern (China 26-10-1911 m.03-12-2004).

El desarrollo de las herramientas geométricas, algebraicas y sobre todo las teorías asociadas a la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral conforman el germen donde surge y se desarrolla la Geometría Diferencial.

Le geometría diferencial se enfoca en estudiar las propiedades geométricas de curvas, superficies. A diferencia de la geometría euclidiana clásica (que se enfoca en formas planas y rígidas como triángulos y círculos), la geometría diferencial analiza formas curvas y deformables, centrándose en propiedades locales, como la curvatura en un punto y globales, cómo esas curvaturas definen la forma general del objeto.

Sus primeros resultados, como disciplina independiente, los podemos encontrar en los trabajos del matemático alemán Carl Friedrich Gauss​ (Alemania 1777 – 1855) al demostrar que la geometría de una superficie puede entenderse completamente desde dentro, sin necesidad de visualizarla sumergida en un espacio tridimensional. El Teorema Egregium (Notable) de Gauss es la piedra angular de este concepto. Esencialmente Gauss demostró que no es necesario salir de la superficie para medir su curvatura. Si fueras una hormiga bidimensional viviendo en una superficie, podrías determinar la curvatura de tu mundo simplemente midiendo distancias y ángulos sobre ella, sin saber nada sobre una tercera dimensión, antes de esto se pensaba que para estudiar una superficie debías “representarla” en el espacio de tres dimensiones.

Bernhard Riemann (Alemania 1826 -1866) generalizó las ideas de Gauss a dimensiones superiores, lo que hoy conocemos como variedades de Riemann, estableciendo el marco matemático necesario para describir espacios curvos donde las reglas de la geometría plana (euclidiana) no funcionan. La Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein se formuló enteramente en el lenguaje de la geometría diferencial de Riemann. Einstein propuso que la gravedad no es una fuerza, sino la curvatura del espacio tiempo provocada por la masa y la energía.

La geometría diferencial en el siglo XX está marcada por los trabajos del matemático chino Shiing-Shen Chern, quien conectó la topología (el estudio de la forma global) con la geometría diferencial (el estudio local de la curvatura) de una manera fundamental. A este matemático se le considera el padre de la Geometría Diferencial Moderna.

Por su parte el Análisis Geométrico es la evolución natural de la geometría diferencial cuando esta empezó a utilizar herramientas del análisis matemático, sobre todo ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP), para resolver problemas de formas y espacios. El análisis geométrico también tiene sus raíces en el cálculo de variaciones de Riemann. El deseo de encontrar la "forma óptima" fue el primer puente entre el análisis y la geometría. Entre los estudios que contribuyeron a su desarrollo podemos mencionar: problema de la Braquistócrona, o encontrar la curva de descenso más rápido y el cálculo de superficies mínimas.

A mediados del siglo XX varios matemáticos transformaron el campo de estudio al usar ecuaciones de la física para estudiar la topología. La resolución de problemas cómo encontrar si es posible deformar cualquier métrica para que tenga curvatura constante, mostró el poder de las EDP elípticas en la geometría. El desarrollo más famoso del análisis geométrico moderno fue la resolución de la Conjetura de Poincaré, uno de los Problemas del Milenio. El matemático estadounidense Richard Hamilton propuso, en1981, el "Flujo de Ricci", un proceso análogo a cómo el calor se distribuye en un objeto, pero aplicado a la curvatura, la idea era "suavizar" un espacio rugoso hasta convertirlo en una esfera perfecta. El matemático ruso Grigori Perelmán completó el trabajo en 2003, demostrando que este análisis geométrico podía clasificar todas las formas tridimensionales posibles.

Estas disciplinas matemáticas tienen hoy un amplio uso en varias ramas de la ciencia y la tecnología, pasando por la física teórica, la cosmología, ingeniería y robótica en la planificación de trayectorias o diseños de superficies (carrocerías de autos, alas de aviones), computación, medicina, hasta la ciencia de datos actuales y la inteligencia artificial.

El sistema GPS (Global Positioning System) es uno de los ejemplos más fascinantes de cómo la geometría diferencial y el análisis geométrico pasan de la pizarra a la vida cotidiana, sin estas herramientas, el GPS acumularía errores de kilómetros en cuestión de horas.