"Los matemáticos no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos." Mikhael Gromov (Rusia n.23-12-1943)
Cierra los ojos un momento y piensa en los cordones de tus zapatillas. Cuando haces un nudo doble para que no se desaten durante el día, estás realizando una operación intuitiva sobre un objeto tridimensional. Si quisieras desatarlo sin romper el cordón ni soltar los extremos, tendrías que deshacer cada paso en sentido inverso.
En matemáticas, sin embargo, el concepto de nudo tiene una pequeña trampa: los extremos del cordón siempre están pegados. Imagina un bucle cerrado de cuerda flotando en el espacio. Si dicho bucle no tiene ningún enredo, lo llamamos el un-knot o un-nudo (un aro simple). Pero si antes de pegar los extremos lo retorciste y lo pasaste por dentro de sí mismo, habrás creado un nudo topológico.
Aquí nace una rama fascinante de las matemáticas: la Topología, ver https://gilbeworld.blogspot.com/2026/05/el-puente-entre-la-forma-y-la.html. A la topología no le importan las distancias ni los ángulos; no le importa si tu cuerda es de goma flexible, de cuero o de acero inoxidable. Lo único que le importa son las propiedades que se mantienen inalteradas cuando estiras, doblas o retuerces un objeto sin llegar a cortarlo ni pegarlo.
En la geometría euclideana cambiar el tamaño o la forma altera las propiedades del objeto. En topología, en cambio, una taza de café de cerámica y un dónut son exactamente la misma cosa: objetos tridimensionales con un solo agujero. Para la topología, un objeto no se define por cómo mide, sino por cómo está conectado.
Pero los nudos plantean un problema endiablado: si te entrego una maraña gigantesca de cuerda cerrada, ¿cómo puedes saber con certeza matemática si es un nudo real o si, tras manipularlo pacientemente durante tres horas, se simplificará hasta convertirse en un simple aro? Este dilema —determinar si dos nudos son equivalentes sin romper la cuerda— fue la chispa inicial que conectó el juego de cuerdas infantil con el galardón más codiciado del mundo matemático: la Medalla Fields.
Para resolver el problema de si dos nudos son iguales, las matemáticas utilizan los invariantes topológicos. Un invariante es una propiedad matemática (un número, una ecuación, un polinomio) que asignamos a un nudo. Si dos nudos tienen invariantes distintos, podemos garantizar sin margen de error que es imposible transformar uno en el otro sin cortar la cuerda.
En la década de 1980, el matemático Vaughan Jones (Nueva Zelanda 1952 -2020) descubrió un invariante revolucionario que hoy conocemos como el Polinomio de Jones. Asignaba a cada nudo un polinomio algebraico con exponentes enteros. Si calculabas el polinomio de un "enredo" y te daba algo como:
$$V(t) = t^{-1} + t^{-3} - t^{-4}$$
Saber que el polinomio del "un-nudo" es simplemente $V(t) = 1$ te daba la prueba irrefutable de que tu enredo no era trivial. Por este hallazgo, Jones fue galardonado con la Medalla Fields en 1990.
Sin embargo, surgió un misterio profundo: ¿por qué el Polinomio de Jones funcionaba tan bien? La respuesta no vino de un matemático puro, sino de la física teórica. Edward Witten (EE.UU 1951, el único físico en la historia en ganar una Medalla Fields, también en 1990) demostró que el Polinomio de Jones surgía de manera natural a partir de la Teoría Cuántica de Campos.
Witten descubrió que si calculas cómo se mueven las partículas cuánticas en un espacio-tiempo curvado y sumas todas las trayectorias posibles usando una herramienta avanzada llamada Integral de Camino de Feynman, el resultado obtenido para partículas que viajan a lo largo de un nudo es, precisamente, el Polinomio de Jones.
Si los nudos en tres dimensiones ya resultan contraintuitivos, ¿qué ocurre cuando intentamos entender la forma del Universo entero?
En la Teoría de la Relatividad General de Einstein, aprendemos que la gravedad no es una fuerza invisible que "tira" de las masas, sino la curvatura del propio tejido del espacio-tiempo. El Sol deforma el espacio a su alrededor igual que una bola de bolos deforma una cama elástica, y la Tierra simplemente sigue la trayectoria más recta posible dentro de esa deformación.
Pero los físicos teóricos modernos, al intentar unificar la gravedad con la mecánica cuántica (mediante la Teoría de Cuerdas), descubrieron que nuestro universo podría tener más de las tres dimensiones espaciales que percibimos. Sugieren que existen dimensiones adicionales —hasta seis o siete más— que están "enrolladas" o comprimidas en formas geométricas extremadamente complejas llamadas variedades de Calabi-Yau.
Estas variedades multidimensionales son las verdaderas "arrugas" del Universo. Para estudiar estas superficies curvadas e invisibles, los matemáticos utilizan una rama llamada Geometría Simpléctica.
La geometría simpléctica no mide distancias ni ángulos rígidos. Proviene del estudio del "espacio de fases" en física clásica: un espacio abstracto donde cada punto representa simultáneamente la posición ($x$) y el momento lineal ($p$) de una partícula. En lugar de preservar longitudes, la geometría simpléctica preserva áreas orientadas.
Una de las técnicas más potentes para entender estas arrugas multidimensionales consiste en "contar" cuántas superficies o curvas de cierto tipo pueden dibujarse dentro de ellas. Es el equivalente a arrojar una red de pescar dentro de una habitación a oscuras para adivinar la forma de los muebles según cómo se enreda la red.
Durante más de dos décadas, la comunidad matemática enfrentó una contradicción incómoda. Para "contar" esas curvas dentro de las variedades simplécticas (las arrugas del universo), existían dos métodos teóricos completamente distintos:
Un método dinámico, derivado directamente de la física de la teoría de cuerdas (propuesto por Gromov y Witten).
Un método estático, derivado de las ecuaciones de la teoría de campos (propuesto por Donaldson y Thomas).
Ambos métodos predecían resultados numéricos para la forma de las dimensiones ocultas, pero utilizaban lenguajes matemáticos radicalmente incompatibles. La célebre conjetura MNOP (formulada por Maulik, Nekrasov, Okounkov y Pandharipande) afirmaba que ambos métodos debían dar exactamente la misma respuesta. Era como tener dos diccionarios en idiomas desconocidos y sospechar que ambos traducían el mismo poema.
Aquí es donde entra John Pardon (EE:UU 1989), uno de los matemáticos más brillantes de nuestra era.Pardon ya había causado sensación en la comunidad científica cuando, siendo apenas un estudiante universitario de grado, resolvió un problema famoso formulado por Mikhael Gromov sobre la "distorsión" de los nudos de toro (cuánta tensión geométrica debe sufrir un nudo para atarse sobre la superficie de un dónut).
Años más tarde, abordó el problema de las arrugas del Universo. Mediante un trabajo colosal de abstracción en geometría simpléctica, Pardon construyó un nuevo marco riguroso —redefiniendo herramientas conocidas como ciclos fundamentales virtuales— que finalmente demostró la equivalencia de ambos métodos de conteo de curvas. Su trabajo no solo unificó dos visiones del cosmos, sino que le valió la Medalla Fields 2026.
En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900 Hilbert dio a conocer sus famosos problemas, ver https://gilbeworld.blogspot.com/2026/01/los-problemas-de-hilbert-y-el-instituto.html. Específicamente el quinto problema planteaba una pregunta engañosamente simple sobre la naturaleza del espacio y las transformaciones de la física: ¿es posible separar la estructura topológica de la estructura analítica (diferenciable)? del espacio y las transformaciones de la física: ¿es posible separar la estructura topológica de la estructura analítica (diferenciable)?. Específicamente, Hilbert preguntó si un grupo de transformaciones continuo (un grupo topológico localmente euclidiano) debía ser, por fuerza, un grupo de Lie suave (diferenciable, donde se puede calcular cálculo infinitesimal).
En 1952, Andrew Gleason (EE.UU 1921 - 2008), Deane Montgomery (EE.UU 1909 - 1992) y Leo Zippin (EE.UU 1905 – 1995) resolvieron afirmativamente el Quinto Problema de Hilbert para dimensiones finitas: si un grupo de transformaciones es topológicamente suave, siempre se puede dotar de una estructura diferenciable única.
La disquisición más fascinante surge cuando salimos de las condiciones de Hilbert y miramos qué ocurre en las dimensiones del Universo real: La topología y la geometría diferenciable van de la mano. Los nudos son objetos topológicos, pero para calcular invariantes como el Polinomio de Jones a través de la física cuántica (Witten), necesitamos ecuaciones diferenciales integrables en el espacio.
Aquí ocurre algo extraordinario que dejó atónita a la matemática del siglo XX. Michael Freedman (EE.UU 1951, Medalla Fields 1986) y Simon Donaldson (Reino Unido 1957) mostraron que existen las $\mathbb{R}^4$ exóticas: espacios de 4 dimensiones que topológicamente son idénticos al espacio euclidiano ordinario, ¡pero que admiten infinitas estructuras diferenciables incompatibles entre sí! Esa discrepancia significa que en las 4 dimensiones de nuestro universo, la "continuidad" no determina las reglas del cálculo. La topología sola no basta para fijar la física.
La conexión entre el Quinto Problema de Hilbert y los trabajos de John Pardon es un hito histórico directo. Pardon resolvió uno de los grandes eslabones perdidos que heredamos de la formulación moderna de Hilbert: la conjetura de Hilbert – Smith.
La Conjetura de Hilbert-Smith emergió en la década de 1930 y lleva el nombre del matemático estadounidense Paul Althaus Smith ( EE.UU 1900–1980), profesor e investigador de la Universidad de Columbia. Mientras que David Hilbert planteó la pregunta general sobre los grupos de transformaciones, fue Paul A. Smith quien desarrolló las herramientas matemáticas necesarias para formular el problema en su versión moderna: Si un grupo topológico compacto $G$ actúa de forma continua y fiel sobre una variedad topológica $M$, entonces $G$ debe ser un grupo de Lie.
La Conjetura de Hilbert-Smith es la ramificación abierta más importante del Quinto Problema de Hilbert. Plantea una pregunta fundamental sobre la naturaleza de las simetrías en la geometría: ¿puede un objeto puramente fractal o discontinuo actuar como una simetría continua en un espacio suave?
Aunque la conjetura sigue abierta para dimensiones $n \ge 4$, se han logrado avances extraordinarios en dimensiones bajas. Dimensiones 1 y 2:fue demostrada a mediados del siglo XX mediante análisis complejo y topología de superficies. Dimensión 3 (El espacio físico): fue demostrada afirmativamente en 2013 por el matemático estadounidense John Pardon (mientras era estudiante de grado en la Universidad de Princeton).
Pardon utilizó herramientas avanzadas de la topología de 3-variedades y la teoría de superficies minimales para demostrar que si $\mathbb{Z}_p$ actuara en un espacio tridimensional, crearía arrugas y auto-intersecciones imposibles en la superficie del espacio, obligando al sistema a colapsar.
Lo fascinante de este recorrido es la profunda interconexión de las matemáticas. Lo que comenzó como una curiosidad sobre cómo se enredan los hilos en nuestro espacio cotidiano tridimensional evoluciona hasta convertirse en el lenguaje abstracto necesario para describir la estructura física fundamental del espacio-tiempo.
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