Teoría del Caos y el Efecto Mariposa

 

“El crecimiento surge del caos, no del orden” Anónimo

Aunque el término “Teoría del Caos”, considerada hoy como la tercera gran teoría del siglo XX junto con la relatividad de Einstein y a mecánica cuántica, fue acuñado en la segunda mitad del siglo XX en los trabajos del meteorólogo y matemático estadounidense Edward Lorenz (EEUU n.23-05-1915 m.16-04-2008) las ideas de su génesis se fraguaron siglos atrás, habría que remontarse a los trabajos de Newton por modelar los descubrimientos astronómicos de Kepler, pasando por Euler, Bernoulli, Laplace, Fourier y otros físicos y matemáticos que en sus estudios de diferentes fenómenos del mundo real fueron sentando los conceptos de la actual Teoría del Caos.

De esta manera las fuentes de la Teoría del Caos son tres corrientes que desembocan en la actual Teoría de los Sistemas Dinámicos: el de la Mecánica Racional de Newton; el de la Mecánica Analítica de Laplace; y, por último, el de la teoría general soñada por Poincaré, quien se constituye por derecho propio como principal protagonista y “padre” de la teoría, aunque inicialmente no la llamó teoría del caos ni usó este término para explicar sus resultados.

La Teoría del Caos nos dice que el resultado de un evento o el comportamiento de un objeto en el futuro depende de diversas variables, y debido a estas variables no podremos predecir el comportamiento futuro con precisión. A partir de un determinado punto hacer predicciones será imposible. Estas ideas o conceptos juegan un papel fundamental para entender las predicciones del clima y otros fenómenos de las ciencias naturales y sociales.

Fue precisamente haciendo predicciones del clima que Lorenz se encontró que alteraciones mínimas en los valores de las variables iniciales daban como resultado soluciones ampliamente divergentes. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales fue conocida después como el “Efecto Mariposa”, llamado así porque los gráficos de las soluciones de sus ecuaciones simulan mariposas:

Atractor de Lorenz

Aunque la teoría del caos sigue siendo hoy fundamental en el estudio de la ciencia ambiental y fenómenos relacionados, en la actualidad ha desbordado esta y es de amplia aplicación y uso en el estudio de una gran diversidad de problemas de la antropología,​ la sociología, la informática, la ingeniería, la economía, la ecología y la gestión de crisis pandémicas.

Lo llamativo del Efecto Mariposa: “el aleteo de una simple mariposa puede provocar un tifón al otro lado del mundo” ha sido ampliamente utilizado en el cine, siendo precisamente la película del 2004 “El efecto Mariposa” la de mayor impacto, pero se pueden mencionar otras muchas que usan este “efecto” de alguna manera en sus tramas, entre ellas: Donnie Darko (2001), El sonido del trueno (2005), El Sr. Nadie (2009) incluso pasando por las sagas de Parque Jurásico y Terminator.

Los Problemas de Hilbert y el Instituto Clay

 “Si yo me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿ha sido demostrada la hipótesis de Riemann?” 

David Hilbert (Alemania n.23-01-1862 m.14-02-1943).

En el marco de la Exposición Universal de Paris (15 de abril al 12 de noviembre 1900) se celebró en esta ciudad del 6 al 12 de agosto el Congreso Internacional de Matemáticos que pasaría a la historia, entre otras cosas, porque el 8 de agosto el matemático David Hilbert, considerado por muchos como el más relevante de su generación, presentó una lista de 23 problemas no resueltos que marcaron el rumbo de la investigación matemática durante el siglo XX. Realmente en dicha conferencia Hilbert enunció los 10 que consideraba más relevantes, aunque la lista completa influyó profundamente en el desarrollo de la matemática moderna, abordando áreas como la teoría de números, geometría y lógica.

Los 10 problemas enunciados por Hilbert en su ponencia fueron:
1.- Problema 1: La hipótesis del continuo de Cantor.
 2.- Problema 2: La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
3.-Problema 3: La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros.
4.- Problema 5: El concepto de grupo de Lie.
5.- Problema 6: Axiomatización de la física
6.- Problema 7: Irracionalidad y trascendencia de ciertos números
7.- Problema 8: El problema de los números primos (Hipótesis de Riemann).
8.- Problema 10: Decidibilidad de ecuaciones diofánticas
9.- Problema 13: Solución de ecuaciones de séptimo grado.
10.- Problema 16: Ciclos límite de sistemas polinomiales.

En la lista anterior los números de los problemas se refieren al orden dado por Hilbert a los 23 problemas.

En la actualidad 17 de estos problemas han sido parcial o totalmente resueltos, y todos, hasta los intentos fallidos, han contribuido al desarrollo de las matemáticas dejando huellas muy profundas a lo largo de estos años. Los problemas 8, 13 y 16 se consideran hoy como los principales retos a resolver.

Siguiendo estas ideas en el año 2000 el Instituto Clay (El Instituto Clay de Matemáticas es una fundación sin fines de lucro de Cambridge, Massachusetts, dedicada a incrementar y diseminar el conocimiento matemático.​ Fue fundado en 1998 por Landon T. Clay, quien la financia, y por el matemático Arthur Jaffe de la Universidad Harvard) publicó los siete Problemas del Milenio:

1. P vs NP: ¿Si una solución es fácil de verificar, también es fácil de encontrar?
2. Hipótesis de Riemann: Sobre la distribución de los números primos
3. Conjetura de Hodge: Relacionada con formas y topología.
4. Conjetura de Poincaré sobre la topología de las 3-esferas.
5. Existencia de Yang-Mills y el salto de masa: Un problema de física cuántica.
6. Ecuaciones de Navier-Stokes: Relacionadas con la dinámica de fluidos.
7. Conjetura de Birch y Sinnerton-Dyer: Sobre soluciones de ecuaciones diofánticas. 

De estos problemas, solo el 4, la Conjetura de Poincaré, ha sido resuelto.

Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

 "Las matemáticas son la música de la razón".

Henri Poincaré (Francia n.29-04-1854 m. 17-07-1912)

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), aquellas donde intervienen o se relacionan las derivadas de una función de una sola variable, han sido ampliamente estudiadas prácticamente desde que Newton y Leibniz sentaron las bases del cálculo diferencial e integral. Dado que resultan de vital importancia en la modelación y descripción de un amplio número de problemas y fenómenos, tanto de las ciencias naturales como sociales, son objeto de estudios en casi todos los cursos de grados universitarios que tienen entre sus asignaturas elementos de análisis matemático o cálculos diferenciales e integrales.

Por lo general el estudio de las EDO en estos cursos universitarios se centra en los métodos de soluciones analíticas; sin embargo, es bastante difícil encontrar una expresión analítica para la solución de la mayoría de los EDO de ahí que sea importante desarrollar métodos para la descripción o búsqueda de estas soluciones.

La teoría cualitativa de las EDO nació a finales del siglo XIX precisamente como una respuesta a la dificultad arriba comentaba. Esta teoría se enfoca en estudiar el comportamiento general y las propiedades de las soluciones (estabilidad, puntos críticos, ciclos) a través de métodos geométricos y visuales (campos vectoriales, diagramas de fase), en lugar de buscar fórmulas explícitas de las soluciones.

El nacimiento de la teoría cualitativa de las EDO se asocia a los trabajos del matemático francés Henry Poincaré quien estudió problemas de mecánica celeste (problema de los tres cuerpos) y se dio cuenta de que el enfoque analítico era insuficiente. Poincaré en lugar de encontrar la forma explícita de las soluciones, estudió sus propiedades globales, introduciendo conceptos como: Campos vectoriales, Puntos de equilibrio/singularidades, Estabilidad, Órbitas periódicas y Caos determinista. Poincaré descubrió que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados drásticamente diferentes, como en el clima.

Durante el siglo XX la teoría se formaliza con nuevos conceptos como bifurcaciones, atractores extraños y sistemas dinámicos, vitales para entender fenómenos complejos en física, biología y economía, sus métodos se complementan con análisis de estabilidad y métodos numéricos para visualizar soluciones, lo que permite un estudio profundo sin solución analítica explícita. 

Alexander Liapunov (Rusia n.06-06-1857 m.03-11-1918) tuvo un papel relevante en el desarrollo de estas teorías a finales del siglo XIX y principios del XX, además de sus aportes importantes a la Teoría de las Probabilidades, introdujo lo que se conoce hoy día como las Funciones de Liapunov que son la herramienta fundamental para el estudio de la estabilidad de los sistemas de EDO.

Actualmente la teoría cualitativa es más relevante que nunca, ofreciendo un marco para entender sistemas complejos, desde modelos básicos de población hasta fenómenos caóticos, usando la geometría y la topología para describir el "qué pasa" cuando la solución exacta es inalcanzable, integrando poderosas herramientas computacionales para visualizar y analizar su rica dinámica. 

Ecuaciones de Navier – Stokes

 

“No existe filosofía que no se base en el conocimiento de los fenómenos, pero para obtener algún beneficio de este conocimiento es absolutamente necesario ser matemático.” 

Daniel Bernoulli (Suiza n.29-01-1700 m.27-03-1782).

Las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen el movimiento de fluidos viscosos, fueron desarrolladas en el siglo XIX por Claude-Louis Navier (Francia n.10-02-1785 m.21-08-1936 quien introdujo la viscosidad) y George Gabriel Stokes (Irlanda n.13-08-1819 m.01-02-1903 quien las completó añadiendo presión y aceleración), basándose en principios de Euler y Newton sobre dinámica de los fluidos o hidrodinámica.

La solución o resolución matemática de estas ecuaciones es uno de los siete problemas del Milenio, concretamente el sexto, que propuso el Instituto Clay en el año 2000. En otro comentario hablaremos de los 10 (inicialmente 23) problemas de Hilbert de 1900 y estos siete del Instituto Clay.

Euler sentó las bases de la hidrodinámica a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a la dinámica de fluidos introduciendo la Ecuación de Continuidad (conservación de la masa) y la Ecuación de Euler (conservación del momento) que modelan el movimiento en fluidos ideales (no viscosos) y siguen siendo fundamentales hoy en día.

Los trabajos de Euler en esta rama de la física-matemática no pueden separarse de las contribuciones de quien fuera su gran amigo y colaborador: Daniel Bernoulli. Juntos, Bernoulli y Euler estudiaron el flujo de los fluidos, en particular, querían conocer la relación entre la velocidad a la que fluye la sangre y su presión. Para investigar esto, Daniel experimentó pinchando la pared de una tubería con una pequeña pajita abierta y observó que la altura a la que el fluido subía por la pajita estaba relacionada con la presión del fluido en la tubería. Pronto los médicos de toda Europa midieron la presión arterial de los pacientes introduciendo tubos de vidrio con punta directamente en sus arterias. No fue hasta unos 170 años más tarde, en 1896, cuando un médico italiano descubrió un método menos doloroso que sigue utilizándose en la actualidad. Sin embargo, el método de Bernoulli para medir la presión se sigue utilizando hoy en día en los aviones modernos para medir la velocidad del aire que pasa por el avión; es decir, su velocidad aérea.

Las ecuaciones de Navier - Stokes modelan desde el vuelo de aviones y la formación de huracanes hasta corrientes oceánicas y flujo sanguíneo, siendo fundamentales en ingeniería, meteorología y aeronáutica.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son no lineales porque algunos de sus términos no exhiben una relación lineal. Esto significa que las ecuaciones no pueden resolverse utilizando técnicas lineales tradicionales y, en su lugar, deben utilizarse métodos más avanzados. La no linealidad es importante en las ecuaciones de Navier-Stokes porque permite que estas ecuaciones describan una amplia gama de fenómenos de dinámica de fluidos, incluida la formación de ondas de choque y otros patrones de flujo complejos. Sin embargo, la no linealidad también las hace más difíciles de resolver, ya que los métodos lineales tradicionales por lo general no funcionan.

Aunque hay varios modelos y aproximaciones numéricas a partir de las soluciones de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Parabólicas, la Inteligencia Artificial y la computación de alto rendimiento están revolucionando su estudio, permitiendo aproximaciones numéricas y avances impensables hasta hace poco tiempo. El joven matemático español Javier Gómez Serrano se ha asociado con la compañía Google DeepMind con este propósito.

Lasecuaciones de Navier - Stokes se utilizan hoy ampliamente en videojuegos para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales.