Ecuaciones de Navier – Stokes

 

“No existe filosofía que no se base en el conocimiento de los fenómenos, pero para obtener algún beneficio de este conocimiento es absolutamente necesario ser matemático.” 

Daniel Bernoulli (Suiza n.29-01-1700 m.27-03-1782).

Las ecuaciones de Navier-Stokes, que describen el movimiento de fluidos viscosos, fueron desarrolladas en el siglo XIX por Claude-Louis Navier (Francia n.10-02-1785 m.21-08-1936 quien introdujo la viscosidad) y George Gabriel Stokes (Irlanda n.13-08-1819 m.01-02-1903 quien las completó añadiendo presión y aceleración), basándose en principios de Euler y Newton sobre dinámica de los fluidos o hidrodinámica.

La solución o resolución matemática de estas ecuaciones es uno de los siete problemas del Milenio, concretamente el sexto, que propuso el Instituto Clay en el año 2000. En otro comentario hablaremos de los 10 (inicialmente 23) problemas de Hilbert de 1900 y estos siete del Instituto Clay.

Euler sentó las bases de la hidrodinámica a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a la dinámica de fluidos introduciendo la Ecuación de Continuidad (conservación de la masa) y la Ecuación de Euler (conservación del momento) que modelan el movimiento en fluidos ideales (no viscosos) y siguen siendo fundamentales hoy en día.

Los trabajos de Euler en esta rama de la física-matemática no pueden separarse de las contribuciones de quien fuera su gran amigo y colaborador: Daniel Bernoulli. Juntos, Bernoulli y Euler estudiaron el flujo de los fluidos, en particular, querían conocer la relación entre la velocidad a la que fluye la sangre y su presión. Para investigar esto, Daniel experimentó pinchando la pared de una tubería con una pequeña pajita abierta y observó que la altura a la que el fluido subía por la pajita estaba relacionada con la presión del fluido en la tubería. Pronto los médicos de toda Europa midieron la presión arterial de los pacientes introduciendo tubos de vidrio con punta directamente en sus arterias. No fue hasta unos 170 años más tarde, en 1896, cuando un médico italiano descubrió un método menos doloroso que sigue utilizándose en la actualidad. Sin embargo, el método de Bernoulli para medir la presión se sigue utilizando hoy en día en los aviones modernos para medir la velocidad del aire que pasa por el avión; es decir, su velocidad aérea.

Las ecuaciones de Navier - Stokes modelan desde el vuelo de aviones y la formación de huracanes hasta corrientes oceánicas y flujo sanguíneo, siendo fundamentales en ingeniería, meteorología y aeronáutica.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son no lineales porque algunos de sus términos no exhiben una relación lineal. Esto significa que las ecuaciones no pueden resolverse utilizando técnicas lineales tradicionales y, en su lugar, deben utilizarse métodos más avanzados. La no linealidad es importante en las ecuaciones de Navier-Stokes porque permite que estas ecuaciones describan una amplia gama de fenómenos de dinámica de fluidos, incluida la formación de ondas de choque y otros patrones de flujo complejos. Sin embargo, la no linealidad también las hace más difíciles de resolver, ya que los métodos lineales tradicionales por lo general no funcionan.

Aunque hay varios modelos y aproximaciones numéricas a partir de las soluciones de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Parabólicas, la Inteligencia Artificial y la computación de alto rendimiento están revolucionando su estudio, permitiendo aproximaciones numéricas y avances impensables hasta hace poco tiempo. El joven matemático español Javier Gómez Serrano se ha asociado con la compañía Google DeepMind con este propósito.

Lasecuaciones de Navier - Stokes se utilizan hoy ampliamente en videojuegos para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales.