Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

 "Las matemáticas son la música de la razón".

Henri Poincaré (Francia n.29-04-1854 m. 17-07-1912)

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), aquellas donde intervienen o se relacionan las derivadas de una función de una sola variable, han sido ampliamente estudiadas prácticamente desde que Newton y Leibniz sentaron las bases del cálculo diferencial e integral. Dado que resultan de vital importancia en la modelación y descripción de un amplio número de problemas y fenómenos, tanto de las ciencias naturales como sociales, son objeto de estudios en casi todos los cursos de grados universitarios que tienen entre sus asignaturas elementos de análisis matemático o cálculos diferenciales e integrales.

Por lo general el estudio de las EDO en estos cursos universitarios se centra en los métodos de soluciones analíticas; sin embargo, es bastante difícil encontrar una expresión analítica para la solución de la mayoría de los EDO de ahí que sea importante desarrollar métodos para la descripción o búsqueda de estas soluciones.

La teoría cualitativa de las EDO nació a finales del siglo XIX precisamente como una respuesta a la dificultad arriba comentaba. Esta teoría se enfoca en estudiar el comportamiento general y las propiedades de las soluciones (estabilidad, puntos críticos, ciclos) a través de métodos geométricos y visuales (campos vectoriales, diagramas de fase), en lugar de buscar fórmulas explícitas de las soluciones.

El nacimiento de la teoría cualitativa de las EDO se asocia a los trabajos del matemático francés Henry Poincaré quien estudió problemas de mecánica celeste (problema de los tres cuerpos) y se dio cuenta de que el enfoque analítico era insuficiente. Poincaré en lugar de encontrar la forma explícita de las soluciones, estudió sus propiedades globales, introduciendo conceptos como: Campos vectoriales, Puntos de equilibrio/singularidades, Estabilidad, Órbitas periódicas y Caos determinista. Poincaré descubrió que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados drásticamente diferentes, como en el clima.

Durante el siglo XX la teoría se formaliza con nuevos conceptos como bifurcaciones, atractores extraños y sistemas dinámicos, vitales para entender fenómenos complejos en física, biología y economía, sus métodos se complementan con análisis de estabilidad y métodos numéricos para visualizar soluciones, lo que permite un estudio profundo sin solución analítica explícita. 

Alexander Liapunov (Rusia n.06-06-1857 m.03-11-1918) tuvo un papel relevante en el desarrollo de estas teorías a finales del siglo XIX y principios del XX, además de sus aportes importantes a la Teoría de las Probabilidades, introdujo lo que se conoce hoy día como las Funciones de Liapunov que son la herramienta fundamental para el estudio de la estabilidad de los sistemas de EDO.

Actualmente la teoría cualitativa es más relevante que nunca, ofreciendo un marco para entender sistemas complejos, desde modelos básicos de población hasta fenómenos caóticos, usando la geometría y la topología para describir el "qué pasa" cuando la solución exacta es inalcanzable, integrando poderosas herramientas computacionales para visualizar y analizar su rica dinámica.