El número de CHAMPERNOWNE o el número que contiene TODA tu vida.

 

David Gawen Champernowne (Reino Unido n.09-07-1912 m.19-08-2000)

Autor: Manuel Gómez.

Existe un número que nace simplemente de saber contar, pero que esconde los secretos más profundos del universo matemático, este es la Constante de Champernowne.

Si uniésemos o concatenásemos los números enteros positivos, con un punto decimal por delante, obtendríamos el número de Champernowne: 0,1234567891011121314…Al igual que $\pi$ y $e$, este número es irracional y transcendente, a saber, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. También se sabe que este número es “normal” en base 10, lo que significa que cualquier patrón finito de números se produce con la misma frecuencia estadística prevista para una secuencia totalmente aleatoria. 

Si un número es normal, ocurren cosas que parecen ciencia ficción: En algún lugar de sus decimales está tu nombre convertido a números, el código fuente de Photoshop, y la respuesta a todas las preguntas del universo. No puedes predecir el siguiente número basándote en patrones previos; es el desorden perfecto nacido de una regla, por lo general, simple.

David Champernowne demostró que este número es normal comprobando que no solo los dígitos del 0 al 9 se producen con una frecuencia porcentual que tiende a 10, sino que cada posible bloque de dos dígitos se producirá con una frecuencia porcentual que tienden a 1, cada bloque de tres dígitos con una frecuencia porcentual de 0.1 y así sucesivamente. Los criptógrafos han destacado que este número no responde a algunos de los indicadores estadísticos de ausencia de aleatoriedad más sencillos y tradicionales. En otras palabras, los programas informáticos sencillos que intentan encontrar regularidad en secuencias, quizás no vean la regularidad del número de Champernowne.

Lo más curioso es que, mientras que otros números irracionales como $\sqrt{2}$ o $e$ surgen de operaciones complejas o geometrías, la Constante de Champernowne surge de algo que aprendemos prácticamente desde que comenzamos a hablar: contar. La complejidad más absoluta nace de la regla más sencilla.

Para demostrar que el número de Champernowne en base 10 (decimal) es irracional, no necesitamos recurrir a fórmulas o razonamientos extremadamente complejos. Como sabemos, un número es irracional si es imposible que exista un bloque de dígitos que se repita periódicamente para siempre. Imaginemos que existe un bloque de $n$ dígitos que se repite infinitamente, dado que el número de Champernowne se construye concatenando todos los números naturales, sabemos que en algún momento aparecerán números como: $10^{2n}$ (un 1 seguido de $2n$ ceros), $10^{3n}$, etc. Si el supuesto bloque periódico tiene una longitud de $n$, en la construcción del número tarde o temprano aparece una secuencia de ceros mucho más larga que $n$, por ejemplo, $2n$ ceros seguidos, como siempre aparecerán números cada vez más largos con secuencias de ceros (o de cualquier otro dígito) que superan cualquier longitud de periodo imaginable, el número nunca puede estabilizarse en un patrón repetitivo.

Como comentamos antes, el número de Champernowne es trascendente. En 1937 el matemático alemán Kurt Mahler (Alemania 1903 -1988) demostró esta particularidad utilizando ecuaciones funcionales. Sin embargo, todavía no sabemos si el número de Champernowne es "absolutamente normal" (si es normal en todas las bases, no solo en base 10). Las matemáticas aún tienen secretos guardados sobre este número "tan simple". Si pudiéramos demostrar que el número de Champernowne es absolutamente normal, estaríamos ante el "generador de datos" perfecto. Sería la prueba de que una regla de orden simple genera aleatoriedad perfecta en cualquier sistema de representación.

Lo más curioso de la normalidad es que es "omnipresente pero invisible". Sabemos que, si eliges un número al azar entre 0 y 1, la probabilidad de que no sea normal es cero. Casi todos los números lo son. Sin embargo, demostrar que un número específico como $\pi$ o $\sqrt{2}$ es normal es uno de los retos más grandes de la historia, de hecho, a la fecha no se ha demostrado la normalidad de estos números. Es fácil crear un número normal "a medida", como el de Champernowne, pero es dificilísimo probarlo en números que ya existen en la naturaleza.

Pioneras: Las Dueñas del Siglo XIX

 

"Es imposible ser matemático sin ser un poeta en el alma." Sofía Kovalevskaya (Rusia n.15-01-1850 m.10-02-1891)

El siglo XIX no fue muy diferente de los anteriores para las mujeres que tenían inclinaciones por las matemáticas o las ciencias en general, fue un campo de batalla intelectual. Se caracterizó por una contradicción estructural: mientras la ciencia avanzaba a pasos agigantados, las puertas de las instituciones oficiales permanecían cerradas con llave para las mujeres.

En la mayor parte de Europa, las mujeres tenían prohibido matricularse formalmente en la universidad. Esto las obligaba a buscar rutas alternativas como seudónimos, tutores privados e incluso matrimonios concertados. Socialmente, se aceptaba que una mujer supiera algo de matemáticas o astronomía siempre y cuando se considerara un adorno intelectual o un hobby para el hogar.

Como en épocas anteriores siempre hubo adelantadas que se sublevaron contra estos dogmas y marcaron el camino para que otras también pudieran emanciparse. En particular, en el siglo XIX se destacan por derecho propio:

•  Ada Lovelace: La Arquitecta del algoritmo.
•  Sophie Germain: El Genio bajo seudónimo.
•  Mary Somerville: La Unificadora del cosmos.
•   Sofia Kovalevskaya: La poeta de las Matemáticas.

 Ada Lovelace (Reino Unido1815-1852) era hija del poeta Lord Byron, pero Ada decidió que su lenguaje no serían las rimas, sino los números. Mientras todos veían en la "Máquina Analítica" de Charles Babbage una simple calculadora gigante, ella vio el primer ordenador. Escribió el primer algoritmo de la historia, básicamente, es la "madre" de la programación.

Su trabajo más famoso no es un libro, sino las "Notas" que añadió a la traducción de un artículo francés sobre la máquina de Babbage. Sus notas eran tres veces más largas que el artículo original. En sus “Notas”, Lovelace detalló un plan para que la “Máquina Analítica” calculara una secuencia compleja de números racionales (los números de Bernoulli).

Diseñó operaciones de "bucle" (loops) y "saltos condicionales" (if/then), conceptos que hoy son la base de cualquier lenguaje de programación. Su gran aporte fue entender que, si una máquina podía manipular números, y esos números podían representar entidades (como notas musicales o letras), la máquina podría procesar cualquier cosa. Fue la primera en ver que las computadoras no eran solo calculadoras glorificadas.

Su trabajo fue olvidado durante casi un siglo hasta que Alan Turing lo redescubrió mientras trabajaba en los cimientos de la computación moderna durante la Segunda Guerra Mundial. En 1980, el Departamento de Defensa de EE. UU. nombró a un lenguaje de programación de alto nivel como “ADA” en su honor.

 Sophie Germain (Francia 1776 – 1831) fue una matemática francesa que, para poder estudiar en la Escuela Politécnica de París, tuvo que asumir la identidad falsa de "Monsieur LeBlanc", cuando se descubrió su secreto, matemáticos como Gauss quedaron asombrados por su talento.

En 1811, la Academia de Ciencias de París propuso un concurso para explicar matemáticamente los patrones de arena que se formaban en placas vibrantes, Germain fue la única en presentar una solución. Propuso una ecuación diferencial de cuarto orden que explicaba cómo se curvaban las superficies elásticas, un trabajo que permitió el desarrollo de la ingeniería estructural moderna. Su trabajo fue vital para entender las vibraciones que permitieron, años después, la construcción de estructuras como la Torre Eiffel. Injustamente, aunque sus ecuaciones sobre la elasticidad de los metales fueron fundamentales para que la torre se mantuviera en pie, su nombre no fue incluido entre los 72 científicos inscritos en la estructura.

En teoría de números, trabajó en el Último Teorema de Fermat. Demostró que para un número primo $p$, si $2p + 1$ también es primo, entonces el teorema es probable que se cumpla para ese exponente. Estos números hoy se llaman "Primos de Germain" y son fundamentales en la criptografía moderna. Este fue el mayor avance en el Último Teorema de Fermat en cien años. Mientras otros intentaban probarlo número por número, ella adoptó un enfoque estratégico: dividir los números primos en dos categorías. Esto permitió demostrar que para todos los "Primos de Germain" ($p < 100$), la ecuación $x^p + y^p = z^p$ no tenía soluciones simples.

Mary Somerville (Escocia1780–1872), a diferencia de otras niñas de la alta sociedad, pasó su infancia corriendo libre por la costa de Burntisland, en Escocia. Sus padres no creían en la educación femenina. A los 10 años, apenas sabía leer. Sus padres la enviaron un año a un internado para aprender a escribir y llevar las cuentas domésticas. Su entrada en las matemáticas fue pura casualidad. Mientras ojeaba una revista de moda (la Lady's Magazine) para ver patrones de costura, encontró un acertijo matemático que usaba letras (X e Y). Se obsesionó con saber qué significaban esas letras. Logró que el tutor de sus hermanos le consiguiera una copia de los “Elementos” de Euclides, que leyó a escondidas por las noches.

Conocida como la "Reina de las Ciencias del siglo XIX", fue una de las primeras mujeres en ser admitida en la Real Sociedad Astronómica, junto con Caroline Herschel. Su capacidad para sintetizar diferentes ramas de la ciencia fue tal que, en una reseña de su libro, se acuñó por primera vez el término "científico" (scientist) para describirla. Este es quizás su legado cultural más curioso, antes de 1834, se usaba el término "Man of Science" (Hombre de ciencia), como este termino era gramaticalmente incorrecto se acuñó el término "Scientist" para definir a alguien que, como Mary, dominaba múltiples disciplinas con rigor profesional.

Su mayor logro fue la síntesis del Sistema Solar. Ella no solo traducía; ella reconstruía. Su obra The Mechanism of the Heavens era una versión "expandida" de la mecánica celeste de Laplace, este escribía de forma extremadamente densa, saltándose pasos con la frase "es fácil ver que...". Mary llenó esos vacíos con cientos de páginas de diagramas, derivaciones matemáticas y explicaciones claras que permitieron a los estudiantes británicos entender la física avanzada por primera vez.

Somerville analizó minuciosamente las anomalías en la órbita de Urano. En la sexta edición de su libro de 1842, escribió una frase que cambiaría la astronomía:
"Si después de un lapso de años las tablas de Urano todavía no concuerdan con su posición real, las discrepancias podrían revelar la existencia de otro planeta más lejano". Esta observación fue la que inspiró directamente a John Couch Adams a realizar los cálculos matemáticos que llevaron al descubrimiento de Neptuno en 1846.

Al final de su vida, su fama era tal que el gobierno británico le concedió una pensión civil y el Somerville College de Oxford fue nombrado en su honor, este fue uno de los primeros en admitir mujeres.

Sofia Kovalevskaya (Rusia 1850 – 1891) fue la primera mujer en obtener un doctorado en matemáticas en la Europa moderna y la primera en ser nombrada profesora universitaria en Suecia. En una Rusia que no dejaba estudiar a las mujeres, Sofia se casó "por conveniencia" solo para poder viajar a Alemania y estudiar.

Kovalevskaya fue una maestra del análisis matemático y la mecánica celeste. El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya es un pilar de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Este teorema demuestra la existencia y unicidad de soluciones para ciertos sistemas de ecuaciones, algo vital para predecir fenómenos físicos como el flujo de fluidos o la propagación del calor.

Hizo estudios profundos sobre rotación de cuerpos, la Peonza de Kovalevskaya es un ejemplo de un cuerpo de rotación sobre un punto fijo altamente complejo. Antes de ella, solo se conocían dos casos, los de Euler y Lagrange. La solución de Sofia no usaba geometría simple, sino “funciones abelianas”, logrando resolver un problema que la Academia de Ciencias de Berlín consideraba "irresoluble".

Ell gran matemático Karl Weierstrass (Alemania 1815 – 1897) no creía que una mujer pudiera ser su alumna. Le puso una serie de problemas que él consideraba extremadamente difíciles para "despacharla". Ella regresó a la semana siguiente con soluciones originales y más elegantes que las del propio profesor. Weierstrass se convirtió en su mentor de por vida.

Kovalevskaya fue pionera en introducir las funciones ultraelípticas para resolver problemas físicos. Mientras otros matemáticos se perdían en la abstracción, ella usó las herramientas más complejas del álgebra para explicar el movimiento del mundo real.

Sofia creía que era imposible ser matemático sin tener "algo de poeta en el alma". Escribió novelas exitosas (Una mujer nihilista) y obras de teatro, argumentando que la intuición necesaria para resolver una ecuación es la misma que se necesita para crear arte.

No fue hasta finales del siglo XIX (décadas de 1870-1890) cuando universidades como Cambridge o Estocolmo empezaron, muy tímidamente, a permitir que las mujeres fueran evaluadas o ejercieran la docencia. Estas mujeres no solo resolvieron ecuaciones; resolvieron el problema de la desigualdad con lógica y persistencia. Cada vez que usas un código en tu móvil o pasas por un puente de acero, hay un poco del genio de estas pioneras en ello.

La Rebelión de los Números: Mujeres que desafiaron al Siglo XVIII.

 

"Si yo fuera rey, reformaría un abuso que condena a la mitad del género humano. Haría que las mujeres participaran en todos los derechos de la humanidad, y sobre todo en los de la mente." Émilie du Châtelet (Francia n.17-12-1706 m.10-09-1749)

En el siglo XVIII, mientras la Ilustración proclamaba el uso de la razón, las mujeres tenían prohibido el acceso a las universidades. Sin embargo, eso no las detuvo; estudiaron entre sombras, cartas y salones para revolucionar el cálculo y la física. En el siglo donde se creía que el esfuerzo intelectual "dañaba la salud femenina", tres mentes brillantes demostraron que las matemáticas no tienen género. Nos referimos a:

·         Émilie du Châtelet – la mujer que corrigió a Newton.
·         María Gaetana Agnesi – La maestra del Cálculo.
·         Caroline Herschel – La cazadora de Cometas.

Émilie du Châtelet (Francia 1706 – 1749), fue una influyente aristócrata de su época, sin embargo, no se conformó con el rol que la sociedad tenia reservado para las mujeres y desafió las normas de su tiempo. Su trabajo más relevante fue la traducción al francés de los ‘Principia” de Newton, pero no fue solo una mera traducción, añadió comentarios complejos y desarrolló el concepto de conservación de la energía. De hecho, su formulación $E \propto mv^2$ fue precursora de la famosa ecuación de Einstein $E=mc^2$.

En contra de lo que pensaba Newton, que la fuerza era proporcional a la velocidad, $v$, ella apoyó la idea de Leibniz de que era proporcional al cuadrado de la velocidad ($v^2$). Du Châtelet se basó en los experimentos de Willem 's Gravesande, quien dejaba caer esferas de latón sobre un lecho de arcilla blanda. Si una esfera duplicaba su velocidad ($2v$), no se hundía el doble en la arcilla, sino cuatro veces más ($2^2$), si triplicaba la velocidad ($3v$), se hundía nueve veces más ($3^2$). Ella fue la primera en formalizar matemáticamente que la energía de un cuerpo en movimiento (energía cinética) depende del cuadrado de la velocidad. Esto fue revolucionario porque corrigió a Newton y sentó las bases para la física moderna.

Introdujo el cálculo infinitesimal en Francia, una herramienta que Newton casi no usó en sus “Principia” (Newton prefería la geometría clásica), pero que era mucho más potente para resolver problemas de dinámica. Utilizó la lógica pura para demostrar que las leyes de la naturaleza deben ser universales y no arbitrarias.

Su traducción de los “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” es, todavía hoy, la versión estándar en francés, aunque lo más valioso son sus comentarios. En sus notas, empezó a vislumbrar que la energía no se pierde, sino que se transforma (el inicio de la termodinámica), utilizó el cálculo para explicar cómo la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol causaba el movimiento de los océanos, mejorando las explicaciones originales de Newton.

María Gaetana Agnesi (Italia 1718 – 1799) fue una niña prodigio y políglota, Agnesi escribió una de las obras matemáticas más importantes de su tiempo para ayudar a la educación de sus hermanos: “Instituzioni analitiche” (1748), el primer libro que unificó el cálculo diferencial e integral de forma clara.

Antes de 1748, si querías aprender cálculo, debías leer las cartas de Newton, los tratados de Leibniz o artículos dispersos de los Bernoulli. María Gaetana con la publicación de "Instituzioni Analitiche", una obra de más de 1,000 páginas, juntó el método de las "fluxiones" de Newton y el cálculo diferencial de Leibniz, que en ese momento eran escuelas rivales, además fue la primera en organizar el conocimiento desde el álgebra elemental, pasando por el cálculo diferencial, hasta llegar al cálculo integral y las ecuaciones diferenciales. Introdujo ejemplos claros donde otros ponían abstracciones.

Su texto era tan preciso que fue traducido al francés e inglés y se utilizó como el principal libro de texto en las universidades europeas durante más de medio siglo. La Academia de Ciencias de París afirmó que no existía en ningún idioma una obra tan clara y completa.  El Papa Benedicto XIV quedó tan impresionado por su capacidad de síntesis que la nombró catedrática de matemáticas en la Universidad de Bolonia, un hito casi inalcanzable para una mujer en el siglo XVIII.

A pesar de todo lo anterior, María Gaetana Agnesi es más recordada por la curva que lleva su nombre “La Bruja de Agnesi”. La historia de esta denominación es uno de los malentendidos más famosos, y a la vez afortunados, de la historia de las matemáticas, se trata de un error de traducción que terminó bautizando a una de las curvas más importantes del cálculo. Agnesi no inventó la curva (ya había sido estudiada por Fermat y Grandi), pero fue la primera en dar una explicación clara, sistemática y didáctica de sus propiedades en el libro ya comentado.

A pesar de su nombre accidentado, la curva es extremadamente útil en la ciencia moderna. Sus aplicaciones incluyen la Física cuántica, ya que describe la distribución de la energía en ciertas líneas espectrales, la Estadística, dado que es la base de la distribución de probabilidad de Cauchy y la Hidrodinámica, pues ayuda a modelar el flujo de agua sobre obstáculos u olas solitarias.

Lo más irónico de la historia es que María Gaetana Agnesi era una mujer profundamente religiosa y caritativa. Años después de publicar su libro, abandonó las matemáticas para dedicarse por completo al cuidado de los pobres y enfermos en un hospicio de Milán. Pasó de ser una celebridad científica a una vida de ascetismo, ajena a que su nombre quedaría ligado para siempre a una "bruja" por un error de traducción.

Caroline Herschel (Alemania 1750 – 1848) comenzó como asistente de su hermano William, pero Caroline, afincada en Inglaterra donde desarrolló su trabajo, terminó siendo una matemática y astrónoma de renombre mundial por mérito propio. Recalculó y corrigió los catálogos estelares de la época, una tarea matemática monumental que permitió mapear el cielo con una precisión nunca antes vista.

Caroline fue la primera mujer en la historia en descubrir un cometa el 1 de agosto de 1786, a lo largo de su carrera, identificó un total de ocho cometas. Más allá de los cometas, Caroline realizó "barridos" (sweeps) del cielo de forma independiente, descubriendo cúmulos estelares y nebulosas y Galaxias, en total, añadió 14 nebulosas nuevas a los catálogos de la época.

 Su trabajo matemático fue monumental, traducía las observaciones en bruto de su hermano a coordenadas astronómicas precisas. Publicó el “Index to Flamsteed's Observations”, donde corrigió cientos de errores y añadió 560 estrellas que el Astrónomo Real había omitido. Organizó todas las observaciones de la familia en un catálogo sistemático por zonas, que sirvió de base para el actual NGC (New General Catalogue) que los astrónomos usan hoy.

Su impacto fue tan grande que rompió barreras institucionales históricas. Fue la primera científica asalariada, el rey Jorge III le asignó un sueldo oficial de 50 libras anuales como asistente de su hermano, convirtiéndola en la primera mujer con un cargo profesional en ciencia. Fue la primera mujer en recibir la Medalla de Oro de la Royal Astronomical Society en 1828, ninguna otra lo logró hasta 1996. En 1835 fue nombrada miembro honorario de la Royal Astronomical Society.

Lo que une a estas tres mujeres es que ninguna se limitó a "hacer" ciencia; todas la "organizaron". Émilie organizó la física, Maria organizó el cálculo y Caroline organizó el cielo. Su legado es la claridad que hoy damos por sentada en los libros de texto y en los mapas estelares.

El legado de la primera Medalla Fields femenina

 

"Las matemáticas solo revelan sus secretos a quienes las aman lo suficiente como para ser pacientes con ellas". Maryam Mirzakhani (Irán n.12-05-1977 m.14-07-2017)

Como sabemos no existe Premio Nobel en las Matemáticas, esto último puede ser tema de un post posterior. El matemático canadiense John Charles Fields (Canadá 1863 – 1932), siempre estuvo obsesionado con la idea de crear un premio que uniera a la comunidad matemática internacional, su intención no era solo premiar el trabajo realizado, sino servir de estímulo para futuros logros y como apoyo para la colaboración internacional. Aunque no pudo ver materializada su idea dejó instrucciones muy claras en su testamento y una donación de 47,000 dólares, una fortuna en esa época, para financiar las medallas.

En el Congreso de Oslo en 1936 se entregan las dos primeras medallas de la historia al finlandés Lars Ahlfors (Finlandia 1907 – 1996) y al estadounidense Jesse Douglas (EE.UU. 1897 – 1965). A diferencia de los Premios Nobel, que suelen otorgarse por carreras consolidadas, la Medalla Fields tiene una regla de oro que la hace única y feroz: solo se entrega a matemáticos menores de 40 años. Se otorga cada cuatro años durante el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM), y se entrega a un máximo de cuatro personas por edición.

Aunque este ha sido un mundo también dominado por hombres, hay mujeres que sobresalen por méritos propios y han dejado huellas tan grandes e importantes como el mejor de los matemáticos hombre. Una de estas matemáticas es, sin duda, la iraní Maryam Mirzakhani, quien recibió la Medalla Fields en 2014 por sus trabajos sobre sobre geometría y dinámica, el trabajo de Mirzakhani se centró en objetos complejos que desafían la intuición común.

La historia de Maryam no empezó con una pasión innata por los números. De niña, en Teherán, su sueño era ser escritora. Fue en la escuela secundaria donde un profesor le planteó un reto matemático que despertó su curiosidad. Al principio no le iba bien en la materia, pero su hermano mayor le contó un problema sobre la suma de números del 1 al 100 (el famoso truco de Gauss), y esa elegancia lógica la cautivó. En 1994 y 1995, se convirtió en la primera mujer iraní en ganar una medalla de oro en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas, logrando una puntuación perfecta en su segundo año.

A Mirzakhani se le conoce como ‘La Arquitecta de las Superficies Imposibles”. A ella no le gustaban las soluciones rápidas. Su proceso era lento, deliberado y profundamente visual. Solía poner enormes pliegos de papel blanco en el suelo de su casa con dibujos, diagramas y fórmulas. Su hija describía su trabajo como "pintura", y en cierto modo lo era: estaba retratando la estructura de mundos abstractos. Es conocida su frase: "No tengo una receta particular... es como estar perdido en una selva y tratar de usar todo el conocimiento que puedes reunir para idear algunos trucos nuevos, y con un poco de suerte, encuentras una salida".

Los dos pilares fundamentales del trabajo de Maryam Mirzakhani se centran en las Superficies de Riemann y Espacios de Módulos. Maryam estudió la geometría de las superficies que pueden tener múltiples "asas" (como una taza de café), específicamente sus geodésicas, que son las trayectorias más cortas entre dos puntos en una superficie curva. Si cada superficie de Riemann es un "punto" en un mapa más grande, ese mapa es el “Espacio de Módulos”. Mirzakhani calculó el volumen de estos espacios de una manera que nadie había logrado antes, conectando conceptos de topología, geometría hiperbólica y sistemas dinámicos.

Aunque su investigación pertenece a las matemáticas puras, las implicaciones de sus teoremas resuenan en otras áreas. Sus hallazgos son fundamentales para la Física Teórica, con aplicaciones en la teoría de cuerdas y la cosmología, ayudando a entender la forma del universo. Estudió cómo evolucionan los sistemas en el tiempo, por ejemplo, el movimiento de una bola de billar en una mesa con formas complejas.

Maryam nos dejó prematuramente a los 40 años, falleció en el 2017 a causa de un cáncer de mama. Sin embargo, su impacto es eterno. Nos enseñó que la persistencia es clave: No se trata de ser el más rápido, sino de tener la tenacidad de ver un problema desde ángulos que otros ignoran. Para ella, las matemáticas eran una forma de arte, su Medalla Fields fue un punto de inflexión para todas las mujeres que se dedican a las ciencias.

Hoy, su nombre no solo representa excelencia académica, sino también la promesa de que las matemáticas son un territorio abierto para cualquier mente curiosa que no tenga miedo de "perderse en la selva".

Emmy Noether: Superando el prejuicio para redefinir las matemáticas.

 

"Los métodos matemáticos no tienen raza ni religión; son patrimonio de la humanidad". Emmy Noether (Alemania n.23-03-1882 m.14-04-1935)

La historia de la matemática suele contarse a través de nombres como Newton, Gauss o Euler, pero la arquitectura del universo moderno le debe una deuda impagable a una mujer que, durante gran parte de su vida, ni siquiera tuvo derecho a un salario por su genio.

Emmy Noether no solo resolvió ecuaciones; cambió la forma en que el ser humano entiende la realidad. Nos enseñó que la armonía (la simetría) no es solo una cuestión estética, sino la razón misma por la que el mundo físico es estable y predecible. Su transición de los números a las estructuras abstractas permitió que el álgebra dejara de ser una caja de herramientas para convertirse en un lenguaje universal.

¿Qué tienen en común la conservación de la energía en una supernova y la estructura profunda de las matemáticas modernas? La respuesta es un solo nombre: Emmy Noether.

A menudo llamada "la madre del álgebra moderna", Noether superó las barreras de género de la Alemania de principios del siglo XX para convertirse en una de las figuras más influyentes en la historia de la ciencia.

Si Emmy solo hubiera hecho una cosa en su vida, el “Teorema de Noether” habría bastado para inmortalizarla. Este teorema es, posiblemente, uno de los resultados más elegantes de la ciencia.

En términos sencillos, Noether demostró que por cada simetría en la naturaleza, existe una ley de conservación, y viceversa. De esta manera relacionó a la Simetría de Traslación Temporal (las leyes no cambian en el tiempo) con la Ley de Conservación de la Energía, la Simetría de Traslación Espacial (las leyes no dependen del lugar) con la Ley de Conservación del Momento Lineal y la Simetría de Rotación (las leyes no dependen de la orientación) con la Ley del Momento Angular.

Sin este descubrimiento, gran parte de la física de partículas y la relatividad general de Einstein carecerían de un fundamento sólido.

Cuando Einstein leyó el trabajo de Noether sobre la conservación de la energía en la relatividad general, quedó asombrado. Él estaba teniendo problemas para explicar por qué la energía no parecía conservarse de la manera tradicional en su nueva teoría, y Noether le dio la respuesta matemática definitiva: la conservación depende de la estructura del espacio-tiempo mismo.

Más allá de la física, Emmy transformó la forma en que "hacemos" matemáticas. Antes de ella, el álgebra se centraba en manipular números y ecuaciones específicas. Noether elevó la mirada hacia las estructuras.

• Introdujo el concepto de anillos, ideales y módulos como objetos de estudio por derecho propio.
• Su enfoque abstracto permitió que las matemáticas se volvieran más generales y potentes.
• Hoy, los objetos que cumplen con ciertas condiciones de finitud se llaman Anillos Noetherianos en su honor.

La carrera de Noether fue una lucha constante contra el sistema. Durante años, dio clases en la Universidad de Gotinga sin recibir salario, a veces bajo el nombre de su colega David Hilbert, este, defendiéndola ante la facultad, dijo una vez: "No veo por qué el sexo de la candidata es un argumento contra su nombramiento. Después de todo, somos una universidad, no una casa de baños".

En 1933, debido a su origen judío, fue expulsada por el régimen nazi y tuvo que emigrar a los Estados Unidos donde continuó su labor en Bryn Mawr College, falleció en Pensilvania en 1935.

Como bien resumió Albert Einstein en su despedida a esta mente brillante:
"En el juicio de los matemáticos vivos más competentes, la señorita Noether fue el genio creativo matemático más significativo que haya existido desde que comenzó la educación superior para las mujeres".

Hoy, cada vez que un físico estudia una partícula subatómica o un matemático analiza la estructura de un anillo, el espíritu de Emmy está presente. Su legado no está solo en los libros de texto, sino en la simetría misma de las estrellas.

Teoría de Números y Polinomios Ortogonales

 

"Dios creó los polinomios de Jacobi; todo lo demás es obra del hombre." Richard Askey (EE.UU. n.04-06-1933 m.09-10-2019)

En principio pareciera que La Teoría de Números y la Teoría de los Polinomios Ortogonales son dos ramas completamente separadas. Por un lado, la Teoría de Números estudia los números primos: esos ladrillos discretos, rebeldes y aparentemente caóticos que construyen la aritmética. Por otro, los Polinomios Ortogonales, son las herramientas que permiten que Netflix cargue rápido, que los ingenieros predigan la estabilidad de un puente y que los físicos entiendan el átomo de hidrógeno, usados también para garantizar la estabilidad en las señales Wi-Fi y telefónicas, corrección exacta de la visión, para diseñar alas de aviones, comprimir archivos de audio o determinar la precisión exacta del mapa en un teléfono móvil.

Sin embargo, en la frontera de la matemática moderna, estos dos universos han colisionado, revelando que los números primos tienen una estructura musical, y los polinomios ortogonales son su partitura.

La Teoría de Números es tan antigua como las matemáticas mismas, su origen es puramente práctico (contar objetos), pero su desarrollo es una odisea de abstracción que hoy protege tus datos bancarios.

Si la Teoría de Números es la "Reina de las Matemáticas", los Polinomios Ortogonales son sus "Arquitectos". Su historia es el viaje de una herramienta que nació para resolver problemas de astronomía y terminó siendo la columna vertebral de la física moderna.

Los polinomios ortogonales juegan un papel decisivo en la teoría de aproximación. Es comparable a tener las piezas exactas de un rompecabezas para recrear una imagen: te permiten construir una función complicada usando piezas simples (polinomios) de la manera más eficiente posible.

El nacimiento de los polinomios ortogonales lo podemos situar en el siglo XVIII con los trabajos del matemático Adrien-Marie Legendre (Francia 1752 – 1833) quien estudiando problemas de astronomía y gravedad introdujo en 1784 los polinomios de Legendre. Durante el siglo XIX Chebyshev (Rusia 1821 – 1894) en sus trabajos de mecánica de vapor y problemas de aproximación introduce los polinomios de Chebyshev. Entre los años 1840 -1851 Carl Gustav Jacobi (Alemania 1804 -1851) introduce una familia mucho más amplia que engloba a casi todas las anteriores, el gran mérito de Jacobi fue entender que todos estos polinomios formaban parte de una misma familia de soluciones, antes de Jacobi, los matemáticos trataban a los de Legendre y Chebyshev como herramientas distintas.

Durante los siglos XX y XXI la teoría ha seguido desarrollándose con aplicaciones a espacios de funciones y la mecánica cuántica, así como a la computación, IA y señales digitales.

Dicho lo anterior, nuestro interés es destacar los nexos y puntos de contacto de los Polinomios Ortogonales con la Teoría de Números, de alguna manera comentar por qué los Números Primos "bailan" al son de los Polinomios Ortogonales.

Todo comienza con la Función Zeta de Riemann ($\zeta$). Bernhard Riemann (Alemania 1826 – 1866)

Originalmente, para un número real $s > 1$, la función zeta se define como una suma infinita:

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \dots$$

Como descubrió Euler, esta función es capaz de "empaquetar" a todos los números primos en un solo objeto matemático a través de su famoso producto:

$$\zeta(s) = \prod_{p \in \text{Primos}} \frac{1}{1 - p^{-s}}$$

Pero el misterio no está en la suma, sino en sus ceros. En 1859 Riemann extiende la suma anterior al plano complejo. Al llevar la función al terreno de los números complejos, Riemann descubrió que la distribución de los números primos está íntimamente ligada a los ceros de esta función. Los puntos donde esta función vale cero dictan la posición de los números primos.

Y entonces ocurre la magia. En los años 70 del siglo XX, se descubrió que la forma en que estos ceros se distribuyen en el plano complejo no es aleatoria, se "repelen" entre sí de una manera muy específica. Esta repulsión es idéntica a la que muestran las raíces de los Polinomios de Hermite y Laguerre cuando se usan para modelar los niveles de energía en física cuántica.

Esto no es solo teoría pura, dado que los Polinomios de Chebyshev “son maestros” en minimizar el error, en teoría de números se utilizan para acotar los números primos ya que ayudan a demostrar teoremas sobre cuántos primos hay en un intervalo dado, además se usan para demostrar que números como $\pi$ o $\zeta(3)$ no pueden ser racionales, lo que conecta a los Polinomios Ortogonales con el estudio de la irracionalidad.

Esta conexión sugiere que el aparente caos de los números primos es solo una ilusión. Si podemos entender la "armonía" de los polinomios ortogonales, podremos entender la Hipótesis de Riemann: “todos los ceros no triviales de la función zeta tienen una parte real exactamente igual a $1/2$”, así como mejorar la criptografía, hoy casi toda nuestra seguridad digital depende de que no entendemos bien a los primos, si encontramos su "ritmo" polinómico, la seguridad tal como la conocemos cambiaría.

La relación entre los polinomios ortogonales y la teoría de números nos enseña que la continuidad del análisis y la discreción de la aritmética son dos caras de la misma moneda. Los primos, que parecen brotar al azar, siguen en realidad las estrictas leyes de simetría y equilibrio que rigen a los polinomios. Cada vez que envías un mensaje cifrado o escuchas un MP3, estás usando indirectamente esta conexión. La compresión de datos y la seguridad matemática beben de la misma fuente: el orden que emerge de la ortogonalidad.

Paradoja de San Petersburgo

 

Autor: Manuel Gómez

La Paradoja de San Petersburgo es uno de esos rompecabezas matemáticos que nos obligan a admitir que los seres humanos no somos calculadoras andantes. Fue propuesta originalmente por Nicolas Bernoulli (Suiza 1695 -1726) en 1713, pero debe su nombre a su hermano, Daniel Bernoulli (Suiza 1700 – 1782), quien la resolvió años después en la Academia de Ciencias de esa ciudad rusa.

 Daniel Bernoulli, matemático, físico y medico nacido en Holanda y de origen suizo, escribió un artículo fascinante sobre probabilidad que se publicó en 1738 en la revista de la Academia Imperial de Ciencias de San Petersburgo. El artículo planteaba la paradoja, que en la actualidad se conoce como paradoja de “San Petersburgo”, que puede plantearse de forma sencilla en forma de un juego de “cara y cruz” en el que se gana dinero en función de los resultados obtenidos y en el que se paga una cantidad por entrar al juego. 

 Veamos una forma de interpretar el asunto. Se lanza una moneda hasta obtener una cruz. El número total de lanzamientos realizados, n, determina el premio, que será $2^n$ dólares. Así, si sale “cruz” en la primera tirada, el premio será de dos dólares $2^1=2$ y el juego concluye. Si el primer resultado es “cara”, se lanza la moneda de nuevo. Si el segundo lanzamiento el resultado es “cruz”, el premio será de 4 dólares $2^2=4$, y el juego concluye, y así sucesivamente hasta que en alguna tirada salga “cruz”.

Para la teoría de juegos, un “jugador racional” debería aceptar participar en un juego si y solo si el precio a pagar por participar fuera menor que el valor esperado de las ganancias. Filósofos y matemáticos han debatido durante años sobre cuál debería ser el precio justo por incorporarse al juego, se discute ¿Cuánto estarías dispuesto a pagar por participar?

¿Por qué aparece esta pregunta en un juego aparentemente sencillo? La respuesta está en que, según la “estadística pura”, el Valor Esperado para este problema es sorprendente: es infinito. De manera que deberías estar dispuesto a pagar cualquier cantidad de dinero, incluso miles de millones, por jugar una sola vez, ya que el retorno teórico es infinito. Sin embargo, en la vida real, nadie pagaría una suma muy alta por entrar. Esa es la paradoja.

 Daniel Bernoulli propuso que el error no está en la matemática, sino en cómo valoramos el dinero. introduciendo dos conceptos claves:

• Utilidad Marginal Decreciente: El valor de un dólar extra no es el mismo para alguien que tiene hambre que para un millonario. La "satisfacción" (utilidad) crece más lento que la riqueza.
• Aversión al riesgo: Los humanos preferimos una ganancia pequeña segura que una probabilidad minúscula de ganar una fortuna infinita.

 El reconocido economista estadounidense Peter Bernstein (EE.UU 1919 – 2009) señala acerca de la profundidad de la paradoja de Bernoulli, “su artículo es uno de los documentos más profundos jamás escritos, no sólo acerca de la noción de riesgo sino acerca de la conducta humana”. El énfasis que pone Bernoulli en las complejas relaciones entre matemáticas y conducta puede aplicarse a casi cualquier aspecto de la vida

Estadística ¿Matemática?

 

"La estadística es la gramática de la ciencia".  Karl Pearson (Reino Unido 27-03-1857 m.27-04-1936)

Por regla general los cursos de Estadísticas suelen llevar el apellido de “Matemáticas” como si se quisiera enfatizar de que durante el curso se tratarán contenidos de naturaleza matemática o como si hubiera alguna estadística que no fuera matemática.

Desde el punto de vista puramente epistemológico la Estadística puede considerarse una ciencia “independiente”, dado que, aunque utiliza el lenguaje y el rigor de las matemáticas, su naturaleza y sus objetivos son distintos. La diferencia principal radica en qué buscan y cómo llegan a la verdad, mientras las Matemáticas son Deductivas, la Estadística es Inductiva, es decir parte de datos del mundo real (observaciones) para intentar inferir una regla general, su conclusión nunca es 100% cierta; siempre incluye un margen de error. En esencia es la ciencia de la incertidumbre.

A pesar de lo anterior, sin las matemáticas la estadística pierde su capacidad de demostración, la estadística solo sería "opinión documentada". La matemática es lo que permite que la estadística pase de ser una corazonada a ser una prueba legal o científica.

La rama de las matemáticas puras que sustentan todo el aparato estadístico son las Probabilidades. Podemos decir que las Probabilidades son a la Estadística lo que el Cálculo Diferencial e Integral es a las Ecuaciones Diferenciales.

En sus inicios, la estadística era puramente administrativa, de hecho, la palabra proviene del latín “statisticus”, que significa "relativo al Estado". Desde la antigüedad se realizaban conteos de población y tierras para dos fines: cobrar impuestos y reclutar soldados, de manera general se usaba para describir el presente. A partir de los siglos XVII y XVIII los matemáticos comienzan a darse cuenta de patrones que se cumplían en determinados procesos y fenómenos, con los primeros resultados de la Teoría de las Probabilidades en los trabajos de Fermat y Pascal, el azar comienza a volverse ciencia, a partir del siglo XIX y principios del XX la estadística se independiza de la simple observación.

El surgimiento y desarrollo de la Teoría de las Probabilidades permitió a la humanidad pasar de describir el pasado o el presente a predecir el futuro. La Ley de los Grandes Números demostró que a medida que aumentas el número de observaciones la frecuencia con la que ocurre un evento se estabiliza y se acerca a su probabilidad teórica, esto permitió que la estadística dejara de necesitar censos totales (medir a todo el mundo) para empezar a usar muestras. Como la probabilidad nos dice cómo se comporta el azar, podemos usar una pequeña parte para conocer el todo.

Un momento clave fue el Teorema de Bayes, mientras que la estadística clásica usaba la probabilidad para medir eventos repetibles, el enfoque Bayesiano usa la probabilidad para medir nuestro grado de conocimiento, el Teorema de Bayes cambio el enfoque, de preguntarse ¿qué tan probables son estos datos si mi hipótesis es cierta? se pasó a "¿qué tan probable es mi hipótesis ahora que tengo estos datos?", esto permite que la estadística se desarrolle en áreas donde no hay repeticiones infinitas, como predecir quién ganará una elección o si un correo es spam.

La estadística hoy en día muestra un nivel de desarrollo y aplicaciones impresionantes. Gracias al aumento masivo en la capacidad de cómputo y la disponibilidad de datos (Big Data), la disciplina ha pasado de ser una herramienta de apoyo en laboratorios a convertirse en el motor de la economía mundial. La estadística es, en esencia, el cerebro de la Inteligencia Artificial, aunque a menudo se presenta a la IA como algo "misterioso", todo modelo de IA moderno lo que contiene son billones de operaciones estadísticas.

¿Nació el numero “e” en un banco?

 Autor: Manuel Gómez

En la matemática hay números que marcan “diferencias” como el cero (0) o el uno (1), también irracionales como π. Dentro de estos un lugar especial lo tiene, sin dudas, el numero “e”. A diferencia de π que se conoce desde la antigüedad por la geometría, el número “e” es más “reciente” y apareció cuando los matemáticos empezaron a estudiar el crecimiento.

En el año 1863 el matemático suizo Jacob Bernoulli (Suiza n.06-01-1655 m.16-08-1705) “lo descubrió” mientras estudiaba un problema bancario: el interés compuesto. A diferencia del interés simple, donde se paga un porciento dado sobre un valor (capital) inicial en un tiempo dado, en el compuesto las ganancias se suman al capital y generan nuevas ganancias en el siguiente periodo.

Por ejemplo, supongamos que se invierte 1 unidad monetaria a 1 año al 100% de interés. En interés simple si los intereses se pagaran mensualmente cada mes se generaría 1/12 unidades de interés a pagar. En el interés compuesto el primer mes generas 1/12, pero en el segundo el interés se calcula sobre (1+1/12), no sobre el valor inicial, de manera que en un año se habrían generado intereses por (1 + 1/12)^12

Jacob Bernoulli estudiaba qué sucede cuando se añaden intereses repetidamente en pasos o intervalos cada vez más pequeños. Al profundizar en esta idea se topó con un número especial al darse cuenta de que, sin importar la cantidad de veces que se paga el interés, el valor a pagar no crecía infinitamente si no que se estabilizaba en un número concreto. Si denotamos por “e” este valor nos encontramos que:

Realmente esta no fue la primera vez que este valor apareció en las matemáticas, unos años antes, en 1618, se publicaron las tablas de logaritmos calculadas por el matemático escocés John Napier (Escocia n.01-02-1550 m.04-04-1617), el sistema de logaritmos desarrollado por Napier estaba basado, sin que él estuviera totalmente consciente, en la base de lo que hoy llamamos logaritmo natural.

Fue el matemático suizo Leonard Euler (1707 – 1783) quien le dio el nombre actual de “e”, se supone que derivado de la palabra “exponencial” y no porque tenga que ver con su nombre. Euler sí descubrió la conexión “mágica” entre los números más “importantes” de las matemáticas (e,π,i,1,0):

El numero "e" es mucho mas que una curiosidad matemática o un numero que aparece en determinadas relaciones o fórmulas, el número “e” es la base natural del crecimiento, la función f(x) = e^x es la única cuya derivada (tasa de cambio) es igual a la función misma. Es decir, cuanto más grande es el valor, más rápido crece, y lo hace de forma perfectamente proporcional.

Este valor aparece siempre que algo crece o cambia continuamente, como el crecimiento de las poblaciones, la desintegración radioactiva o la forma que se propaga el calor. Lo que comenzó como un estudio o pregunta sobre el dinero y la inversión se convirtió en un descubrimiento que define gran parte de la ciencia moderna.

Geometría Diferencial y Análisis Geométrico.

"Suelo decir que los campos vectoriales son como un hombre, y las formas diferenciales como una mujer. La sociedad necesita dos sexos. Si solo tienes uno, no es suficiente." Shiing-Shen Chern (China 26-10-1911 m.03-12-2004).

El desarrollo de las herramientas geométricas, algebraicas y sobre todo las teorías asociadas a la Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral conforman el germen donde surge y se desarrolla la Geometría Diferencial.

Le geometría diferencial se enfoca en estudiar las propiedades geométricas de curvas, superficies. A diferencia de la geometría euclidiana clásica (que se enfoca en formas planas y rígidas como triángulos y círculos), la geometría diferencial analiza formas curvas y deformables, centrándose en propiedades locales, como la curvatura en un punto y globales, cómo esas curvaturas definen la forma general del objeto.

Sus primeros resultados, como disciplina independiente, los podemos encontrar en los trabajos del matemático alemán Carl Friedrich Gauss​ (Alemania 1777 – 1855) al demostrar que la geometría de una superficie puede entenderse completamente desde dentro, sin necesidad de visualizarla sumergida en un espacio tridimensional. El Teorema Egregium (Notable) de Gauss es la piedra angular de este concepto. Esencialmente Gauss demostró que no es necesario salir de la superficie para medir su curvatura. Si fueras una hormiga bidimensional viviendo en una superficie, podrías determinar la curvatura de tu mundo simplemente midiendo distancias y ángulos sobre ella, sin saber nada sobre una tercera dimensión, antes de esto se pensaba que para estudiar una superficie debías “representarla” en el espacio de tres dimensiones.

Bernhard Riemann (Alemania 1826 -1866) generalizó las ideas de Gauss a dimensiones superiores, lo que hoy conocemos como variedades de Riemann, estableciendo el marco matemático necesario para describir espacios curvos donde las reglas de la geometría plana (euclidiana) no funcionan. La Teoría de la Relatividad General de Albert Einstein se formuló enteramente en el lenguaje de la geometría diferencial de Riemann. Einstein propuso que la gravedad no es una fuerza, sino la curvatura del espacio tiempo provocada por la masa y la energía.

La geometría diferencial en el siglo XX está marcada por los trabajos del matemático chino Shiing-Shen Chern, quien conectó la topología (el estudio de la forma global) con la geometría diferencial (el estudio local de la curvatura) de una manera fundamental. A este matemático se le considera el padre de la Geometría Diferencial Moderna.

Por su parte el Análisis Geométrico es la evolución natural de la geometría diferencial cuando esta empezó a utilizar herramientas del análisis matemático, sobre todo ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP), para resolver problemas de formas y espacios. El análisis geométrico también tiene sus raíces en el cálculo de variaciones de Riemann. El deseo de encontrar la "forma óptima" fue el primer puente entre el análisis y la geometría. Entre los estudios que contribuyeron a su desarrollo podemos mencionar: problema de la Braquistócrona, o encontrar la curva de descenso más rápido y el cálculo de superficies mínimas.

A mediados del siglo XX varios matemáticos transformaron el campo de estudio al usar ecuaciones de la física para estudiar la topología. La resolución de problemas cómo encontrar si es posible deformar cualquier métrica para que tenga curvatura constante, mostró el poder de las EDP elípticas en la geometría. El desarrollo más famoso del análisis geométrico moderno fue la resolución de la Conjetura de Poincaré, uno de los Problemas del Milenio. El matemático estadounidense Richard Hamilton propuso, en1981, el "Flujo de Ricci", un proceso análogo a cómo el calor se distribuye en un objeto, pero aplicado a la curvatura, la idea era "suavizar" un espacio rugoso hasta convertirlo en una esfera perfecta. El matemático ruso Grigori Perelmán completó el trabajo en 2003, demostrando que este análisis geométrico podía clasificar todas las formas tridimensionales posibles.

Estas disciplinas matemáticas tienen hoy un amplio uso en varias ramas de la ciencia y la tecnología, pasando por la física teórica, la cosmología, ingeniería y robótica en la planificación de trayectorias o diseños de superficies (carrocerías de autos, alas de aviones), computación, medicina, hasta la ciencia de datos actuales y la inteligencia artificial.

El sistema GPS (Global Positioning System) es uno de los ejemplos más fascinantes de cómo la geometría diferencial y el análisis geométrico pasan de la pizarra a la vida cotidiana, sin estas herramientas, el GPS acumularía errores de kilómetros en cuestión de horas.

¿Álgebra Geométrica o Geometría Algebraica?

“La geometría es la forma en que Dios ha organizado el universo” Alexander Grothendieck (Alemania n. 28-03-1928 m. 13-11-2014)

A lo largo de su historia las matemáticas no solo se han relacionado con otras ciencias y áreas del conocimiento, siendo en muchos casos fundamentales para explicar fenómenos físicos y de las ciencias naturales o sociales. También diferentes “ramas” o disciplinas matemáticas, aparentemente distintas por sus objetos particulares de estudios, han “intercambiado” métodos y herramientas contribuyendo al desarrollo de cada disciplina con la aplicación de los resultados y conocimientos de otras ramas matemáticas.

Aunque pudiera pensarse que son equivalentes o similares, el Álgebra Geométrica se diferencia de la Geometría Algebraica fundamentalmente en sus objetos de estudios. En tanto el álgebra geométrica es un lenguaje algebraico diseñado para describir y manipular la geometría espacial de manera eficiente, la geometría algebraica es una rama de la matemática pura que combina el álgebra abstracta (especialmente el álgebra conmutativa) con la geometría, su objetivo principal es estudiar las soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas, las que forman figuras geométricas llamadas "variedades algebraicas" (curvas, superficies, etc.), en general es una rama de las matemáticas muy abstracta y teórica.

Estas diciplinas matemáticas también se diferencian en los métodos que emplean y en la aplicación de los resultados. Las aplicaciones principales de la geometría algebraica se concentran en criptografía, teoría de números y física teórica. Por su parte las aplicaciones fundamentales del álgebra geométrica se desarrollan con un enfoque más práctico y computacional, sobre todo en la computación gráfica, robótica, electromagnetismo, mecánica clásica y otros.

Los orígenes del álgebra geométrica se encuentran a mediados del siglo XIX cuando varios matemáticos buscaban la manera de representar figuras espaciales sin tener que depender de coordenadas. Los primeros desarrollos se encuentran en los trabajos de Hermann Grassmann (Alemania n.15-04-1809 m.26-09-1877) y William Rowan Hamilton (Irlanda n.04-08-1805 m.02-09-1865) con la introducción del producto exterior y los cuaterniones. No obstante, se considera a William Kingdon Clifford (Reino Unido n.04-05-1845 m.03-03-1879) como el padre del álgebra geométrica. Clifford unificó las teorías de Hamilton y Grassmann introduciendo lo que se conoce como Álgebra de Clifford. Durante el siglo XX sus resultados se fueron enriqueciendo con los trabajos de varios matemáticos, hoy día el álgebra geométrica se sigue desarrollando en áreas avanzadas y es muy utilizada en robótica y visión por computadora, donde permite manejar rotaciones y traslaciones de forma mucho más eficiente que las matrices tradicionales.

Por su parte, los orígenes de la geometría algebraica hay que buscarlos varios siglos antes, desde la Grecia Antigua y los trabajos de Apolonio sobre las secciones cónicas. Su historia es una de las más largas y ricas de las matemáticas, evolucionando desde el dibujo de figuras hasta la abstracción pura. El gran salto se produce con la invención por parte de René Descartes (Francia n.31-03-1596 m.11-02-1650) y Pierre de Fermat (Francia n.17-08-1601 m.12-01-1665) de la Geometría Analítica. A finales del siglo XIX y principios del XX David Hilbert y Emmy Noether demostraron que para entender la geometría primero había que entender las estructuras algebraicas, dando fundamento teórico a las ideas intuitivas que se habían desarrollado hasta ese momento, en particular demostraron que estudiar los puntos de una curva es equivalente a estudiar las propiedades algebraicas de los polinomios que la definen.

La geometría algebraica cambió radicalmente en los años 60 del siglo XX con los trabajos del matemático alemán Alexander Grothendieck, este llevó la geometría a un nivel de abstracción tan alto que permitía aplicar conceptos geométricos incluso a la teoría de números. Aplicando estas herramientas y enfoque abstracto, el matemático británico Andrew Wiles pudo demostrar siglos después, específicamente en 1995, el Último Teorema de Fermat.

Sobre estas técnicas e ideas para demostrar el teorema de Fermat tuve la oportunidad y el privilegio de asistir en 1985 a una presentación del Dr.C. Héctor Pla, especialista en álgebra del ICIMAF, en la escuela de matemáticas de la Universidad de La Habana donde, usando precisamente herramientas de geometría algebraica, consideraba que había demostrado el teorema de Fermat. La demostración de Pla se comprobó más tarde que tenía un error, pero en su momento fue un hito en el devenir de la matemática en Cuba y sus descubrimientos y aportes sirvieron de base para los trabajos posteriores en esta disciplina de las matemáticas.

La Conjetura ABC o el Santo Grial de la Aritmética

 Autor: Prof. Manuel Gómez

La búsqueda continua de nuevos resultados y generalizaciones de descubrimientos hechos ha sido siempre un motor de desarrollo de las ciencias matemáticas. Aunque esto se puede aplicar a prácticamente todas las ramas del saber, en particular en las matemáticas siempre ha existido la “fascinación” por ir un paso más allá de lo descubierto. Vale señalar que en numerosas ocasiones estos descubrimientos o aportes a la teoría por el mero hecho de “encontrar algo nuevo” han jugado un papel fundamental en la solución de problemas prácticos, ya sean dentro de la propia matemática, la física y otras ciencias naturales y sociales.

En particular la Teoría de Números es muy rica en ejemplos y resultados como los comentados arriba. Las operaciones de suma y multiplicación son de las operaciones más simples y básicas de la aritmética elemental, prácticamente aprendemos a sumar y multiplicar al mismo tiempo. Sin embargo, es curioso que estas dos operaciones no parecen “llevarse bien”, cuando en principio, la multiplicación no es mas que una “suma repetida”. De hecho “resolver” las tensiones entre la suma y la multiplicación es la base del desarrollo actual de la Teoría de Números.

En esta cuerda, en la búsqueda de relaciones entre la suma y la multiplicación es que aparece la ‘Conjetura ABC”. La conjetura fue propuesta inicialmente por Joseph Oesterlé (matemático francés nacido en 1954) y David Masser (matemático ingles nacido en 1948) en 1985. La conjetura ABC es uno de los enigmas más profundos y fascinantes de la Teoría de Números.

En términos simples la conjetura plantea que, dados tres números naturales a, b y c tales que a + b =c, el producto de los primos que forman el número a*b*c debe ser “casi siempre” mayor que c. Por decirlo de otra manera, los números "prefieren" no estar formados únicamente por potencias altas cuando están sumados.

Formalicemos un poco de qué se trata:

Definamos por rad(n): radical de n, como el producto de sus factores primos distintos, sin importar cuántas veces se repitan.
Aclarémoslo con ejemplos:
rad(16)=2, dado que 16=2^4
rad(18)=6, dado que 18=2*3*3
rad(15)=15, dado que 15=3*5
Formalmente, la conjetura estípula que para cualquier exponente ε > 0, solo existe un número finito de ternas (a, b, c) que cumplen:
c > (rad(a*b*c))^(1+ε).

Para entender realmente por qué la conjetura es tan especial, busquemos números que no cumplan con la conjetura, estos casos raros se llaman ternas ABC.

En primer lugar, pongamos un caso donde sí se cumple:
3 + 7 =10
Calculemos el radical de 3*7*10=210, esto es 210 dado que 210=2*3*5*7
Evidentemente 210 es bastante mayor que 10, de eso se trata la conjetura.

Ahora tomemos la siguiente terna de números (1,8,9).
1 + 8 = 9
rad(1*8*9) = rad(72)=6, pues 72=1*2*2*2*3*3
En este caso 6 es menor que 9. Este es un ejemplo clásico de una terna ABC.

A la fecha se han encontrado poco más de 14 millones de ternas ABC a través de métodos de computación distribuida. Hoy el enfoque se centra en encontrar ternas donde la relación c/rad(a*b*c) sea lo mayor posible, lo que se conoce como la "calidad" de la terna ABC.

Realmente lo que plantea la conjetura ABC no es un hecho menor, si se demostrara la conjetura ABC se resolverían un grupo de problemas y temas abiertos de las matemáticas y otros, como el Teorema de Fermat, pasarían a ser una consecuencia directa de la conjetura o sus soluciones fueran mucho más simples.

En 2012, el matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó un extenso trabajo donde afirma haber demostrado la conjetura. Esta demostración no ha sido confirmada en la actualidad, de hecho, ha sido rebatida por algunos matemáticos, entre ellos el Premio Field alemán Peter Scholze. Mochizuki no acepta las criticas y sigue siendo hoy un tema pendiente de solución.

Ejemplos contemporáneos de métodos con resultados positivos en la enseñanza de las matemáticas.

 

“La mayor señal del éxito de un profesor es poder decir: Ahora los niños trabajan como si yo no existiera.” María Montessori pedagoga (Italia n.31-08-1870 m.06-05-1952).

Las matemáticas, por regla general, siempre han tenido el estigma de ser una de las asignaturas más difíciles, independientemente del nivel en que se imparta, que genera en los estudiantes dificultades, en general, en el proceso de aprendizaje y asimilación de sus contenidos. La búsqueda continua de métodos y formas de hacer mas comprensible, y sobre todo atractiva, la enseñanza de las matemáticas ha marcado el desarrollo de la didáctica y la metodología de esta ciencia.

Como mismo durante la segunda mitad del siglo XX se llevaron a cabo un grupo de experimentos en la enseñanza de las matemáticas que culminaron en fracasos, hubo otros intentos que resultaron muy positivos, elevando la capacidad de los niños y adolescentes en la comprensión, no solo de las matemáticas, si no en general de su formación general.

Posiblemente el ejemplo más emblemático sea lo que se conoce como “Método de Singapur”, que se puso en práctica, como su nombre lo indica en este país. El surgimiento de este método esta vinculado al fracaso de lo que se conoció en la década del 60 como “Matemática Moderna” o New Math. Singapur viendo que en los países donde se ponía en práctica el método de la Matemática Moderna, lejos de mejorar producía un deterioro en la formación de los estudiantes, en la década de los 80 decidió poner en práctica otra manera de enseñar matemáticas.  La idea central de este método se basa en la progresión Concreto, Pictórico y Abstracto, los alumnos empiezan tocando objetos, luego pasan a representar esos problemas con dibujos de barras y, finalmente, llegan a los números y símbolos. Este método logró posicionar a Singapur en los primeros lugares de las pruebas TIMSS (se realizan desde 1995) y PISA (se realizan desde el 2000) siendo un país inicialmente atrasado. Ha sido tal el éxito de este programa que ha sido exportado a varios países, desde EE.UU., Europa, China y hoy se aplica en más de 50 países.

 Otros ejemplos de “experimentos” o métodos exitosos en la enseñanza de las matemáticas:

·         Jump Math, puesto en práctica en Canadá a finales de la década de los 90. Comenzó para dar soporte a niños con dificultad en el aprendizaje. Se basa en dividir conceptos complejos en pasos minúsculos para asegurar que ningún estudiante se quede atrás. Se fomenta el refuerzo positivo constante. En las escuelas donde se aplicó vieron cómo sus estudiantes pasaban de niveles bajos a superar la media nacional en tiempo récord.

·         Las Clases Invertidas (Flipped Classroom) en Colorado EEUU, desde el 2007. El alumno estudia la teoría en casa y usa el tiempo de clase para hacer los ejercicios y resolver dudas con el profesor, convirtiendo el aula en un laboratorio de resolución de problemas donde el profesor actúa como guía y no como un busto parlante

·         Proyecto “Matemáticas en Contexto” (Realista), llevado a cabo en Holanda en los años 70 también con el objetivo de alejarse de la Matemática Moderna. Este enfoque propone que las matemáticas deben originarse en la realidad en lugar de aprender la regla de tres, los alumnos resuelven cómo se proyectan las sombras o cómo se calculan las dosis de un medicamento en un hospital, de esta manera los estudiantes desarrollan un "sentido numérico" que les permite aplicar la lógica fuera del examen.

En la actualidad la tendencia principal no se trata solo saber matemáticas, sino desarrollar una alfabetización matemática que permita a los estudiantes navegar en un mundo dominado por los datos y la inteligencia artificial.